Bài tập ôn — Toán 10 (Kết nối tri thức) — Học kì 1 — Mức kiểm tra cuối kì

Phạm vi: Toàn bộ Học kì 1 — Bài 1 đến Bài 14

---

Phần 1: Cơ bản

Bài 1. Tính số trung bình của dãy số: $4, 6, 8, 10$.

Bài 2. Tìm trung vị của dãy số: $3, 5, 7, 9, 11$.

Bài 3. Tìm mốt của dãy số: $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4$.

Bài 4. Tính khoảng biến thiên của dãy số: $5, 8, 12, 20$.

Bài 5. Cho $\vec{a} = (2; 1)$, $\vec{b} = (-1; 3)$. Tính $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Bài 6. Cho $\vec{a} = (3; 4)$. Tính $|\vec{a}|$.

Bài 7. Cho $A(1; 1)$, $B(4; 5)$. Tính tọa độ của $\vec{AB}$ và $|\vec{AB}|$.

Bài 8. $\sin 45^\circ$ bằng bao nhiêu?

Bài 9. Cho tam giác $ABC$ có $AB = 6$, $AC = 8$, góc $A = 90^\circ$. Tính $BC$ và $\sin B$.

Bài 10. Cho $A = [0; 3]$, $B = (1; 5]$. Tìm $A \cap B$, $A \cup B$.

Bài 11. Mệnh đề nào sau đây đúng?

a) "$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \ge x$."

b) "$\exists x \in \mathbb{R}, x^2 = 0$."

Bài 12. Điểm $(1; 1)$ có thuộc miền nghiệm của hệ $\begin{cases} x + y \le 3 \ x \ge 0 \end{cases}$ không? Vì sao?

Bài 13. Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $6$. Tính $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.

Bài 14. Cho $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 5$ và góc giữa hai vectơ bằng $120^\circ$. Tính $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Bài 15. Tìm $Q_1$, $Q_3$ của dãy số: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$.

Bài 16. Tính phương sai của dãy số: $1, 3, 5$ (số trung bình bằng $3$).

Bài 17. Cho A = {x \in \mathbb{N} \mid x < 6}. Liệt kê các phần tử của $A$ và tính số phần tử của $A$.

Bài 18. Cho tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm của $BC$. Tính $\vec{AB} + \vec{AC}$ theo $\vec{AM}$.

---

Phần 2: Nâng cao

Bài 19. Cho dãy số liệu: $10, 12, 14, 16, 18, 20, 22$. Tính số trung bình, trung vị và khoảng tứ phân vị.

Bài 20. Cho $A(2; 3)$, $B(5; 7)$, $C(8; 3)$. Chứng minh tam giác $ABC$ cân tại $B$.

Bài 21. Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 3$, $BC = 4$. Tính $|\vec{AB} + \vec{AD}|$.

Bài 22. Cho $|\vec{a}| = 4$, $|\vec{b}| = 3$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 6$. Tính côsin của góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$.

Bài 23. Một cửa hàng ghi lại số sản phẩm bán được trong 6 ngày: $25, 30, 28, 35, 32, 30$. Tính số trung bình và độ lệch chuẩn (làm tròn đến 2 chữ số thập phân).

Bài 24. Cho tam giác $ABC$ có $AB = 5$, $AC = 7$, $BC = 8$. Tính $\cos A$.

Bài 25. Cho $A = (-\infty; m]$, $B = (2; +\infty)$. Tìm $m$ để $A \cap B \ne \varnothing$.

Bài 26. Cho $\vec{a} = (1; 2)$, $\vec{b} = (m; -1)$. Tìm $m$ để $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.

---

Đáp án

Bài 1. $\bar{x} = \dfrac{4 + 6 + 8 + 10}{4} = 7$.

Bài 2. $M_e = 7$.

Bài 3. $M_0 = 3$ (xuất hiện 3 lần, nhiều nhất).

Bài 4. $R = 20 - 5 = 15$.

Bài 5. $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = 1$.

Bài 6. $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$.

Bài 7. $\vec{AB} = (3; 4)$; $|\vec{AB}| = 5$.

Bài 8. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Bài 9. $BC = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$; $\sin B = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5}$.

Bài 10. $A \cap B = (1; 3]$; $A \cup B = [0; 5]$.

Bài 11. a) Sai (ví dụ $x = 0{,}5$: x^2 = 0{,}25 < 0{,}5). b) Đúng (với $x = 0$).

Bài 12. Có, vì $1 + 1 = 2 \le 3$ và $1 \ge 0$.

Bài 13. $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 6 \cdot 6 \cdot \cos 60^\circ = 36 \cdot \dfrac{1}{2} = 18$.

Bài 14. $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ = 10 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -5$.

Bài 15. $Q_1 = 2{,}5$ (trung vị của nửa dưới $1, 2, 3, 4$); $Q_3 = 6{,}5$ (trung vị của nửa trên $5, 6, 7, 8$).

Bài 16. $s^2 = \dfrac{(1-3)^2 + (3-3)^2 + (5-3)^2}{3} = \dfrac{8}{3}$.

Bài 17. $A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}$, có $6$ phần tử.

Bài 18. $\vec{AB} + \vec{AC} = 2\vec{AM}$ (quy tắc trung điểm).

Bài 19. Số trung bình $\bar{x} = 16$; trung vị $M_e = 16$; $Q_1 = 12$, $Q_3 = 20$, khoảng tứ phân vị $\Delta_Q = 8$.

Bài 20. $BA = \sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2} = 5$; $BC = \sqrt{(8-5)^2 + (3-7)^2} = 5$. Vì $BA = BC$ nên tam giác $ABC$ cân tại $B$.

Bài 21. $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$, suy ra $|\vec{AB} + \vec{AD}| = |\vec{AC}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$.

Bài 22. $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \dfrac{6}{4 \cdot 3} = \dfrac{1}{2}$ (góc bằng $60^\circ$).

Bài 23. Số trung bình: $\bar{x} = \dfrac{25 + 30 + 28 + 35 + 32 + 30}{6} = 30$. Phương sai: $s^2 = \dfrac{25 + 0 + 4 + 25 + 4 + 0}{6} = \dfrac{58}{6} \approx 9{,}67$. Độ lệch chuẩn: $s \approx 3{,}11$.

Bài 24. $\cos A = \dfrac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \dfrac{25 + 49 - 64}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \dfrac{10}{70} = \dfrac{1}{7}$.

Bài 25. m > 2.

Bài 26. Cùng phương $\Leftrightarrow 1 \cdot (-1) - 2m = 0 \Leftrightarrow m = -\dfrac{1}{2}$.