Bài tập ôn — Toán 10 (Kết nối tri thức) — Học kì 1 — Mức kiểm tra giữa kì

Phạm vi: Bài 1 đến Bài 11 (Mệnh đề, Tập hợp, Bất phương trình bậc nhất hai ẩn, Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, Giá trị lượng giác, Hệ thức lượng trong tam giác, Vectơ, Tổng và hiệu của hai vectơ, Tích của một vectơ với một số, Vectơ trong mặt phẳng tọa độ, Tích vô hướng của hai vectơ)

---

Phần 1: Cơ bản

Bài 1. Cho $\vec{a} = (2; 3)$. Tìm tọa độ của $2\vec{a}$.

Bài 2. Cho $\vec{a} = (1; -2)$, $\vec{b} = (3; 4)$. Tính $\vec{a} + \vec{b}$.

Bài 3. Cho $A(1; 2)$, $B(5; 5)$. Tìm tọa độ của vectơ $\vec{AB}$.

Bài 4. Cho $A(1; 2)$, $B(5; 5)$. Tính $|\vec{AB}|$.

Bài 5. Cho hình bình hành $ABCD$. Tính $\vec{AB} + \vec{AD}$.

Bài 6. Cho $\vec{AB} = (3; -4)$. Tính $|\vec{AB}|$.

Bài 7. Vectơ đối của $\vec{u} = (2; -1)$ là vectơ nào?

Bài 8. Cho $|\vec{a}| = 5$, $k = -2$. Tính $|k\vec{a}|$.

Bài 9. Cho $M$ là trung điểm của $AB$. Tính $\vec{MA} + \vec{MB}$.

Bài 10. Cho tam giác $ABC$, $G$ là trọng tâm. Tính $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}$.

Bài 11. Mệnh đề "Nếu $a \vdots 2$ thì $a^2 \vdots 4$" đúng hay sai? Giải thích.

Bài 12. Cho $A = {x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 = 0}$. Liệt kê các phần tử của $A$.

Bài 13. $\sin 60^\circ$ bằng bao nhiêu?

Bài 14. $\cos 30^\circ$ bằng bao nhiêu?

Bài 15. Cho tam giác $ABC$ có $AB = 4$, $AC = 5$, góc $A = 60^\circ$. Tính $BC$.

Bài 16. Điểm $(2; 3)$ có thuộc miền nghiệm của bất phương trình $2x - y \le 1$ không? Vì sao?

---

Phần 2: Nâng cao

Bài 17. Cho $A(2; 1)$, $B(6; 4)$, $C(1; 5)$. Chứng minh $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng.

Bài 18. Cho tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm của $BC$, $N$ là trung điểm của $AM$. Biểu diễn $\vec{BN}$ theo $\vec{BA}$ và $\vec{BC}$.

Bài 19. Cho $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 4$ và góc giữa hai vectơ bằng $90^\circ$. Tính $|\vec{a} + \vec{b}|$.

Bài 20. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB = 3$, $AC = 4$. Tính $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.

Bài 21. Cho $\vec{a} = (m; 2)$, $\vec{b} = (3; -1)$. Tìm $m$ để $\vec{a} \perp \vec{b}$.

Bài 22. Cho $A(0; 0)$, $B(4; 0)$, $C(4; 3)$. Tính chu vi tam giác $ABC$.

Bài 23. Chứng minh: Nếu $\vec{AB} = \vec{CD}$ thì tứ giác $ABDC$ là hình bình hành.

Bài 24. Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Tính $|\vec{AB} + \vec{AD}|$.

---

Đáp án

Bài 1. $(4; 6)$.

Bài 2. $(4; 2)$.

Bài 3. $\vec{AB} = (4; 3)$.

Bài 4. $|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.

Bài 5. $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$ (quy tắc hình bình hành).

Bài 6. $|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5$.

Bài 7. $(-2; 1)$.

Bài 8. $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}| = 2 \cdot 5 = 10$.

Bài 9. $\vec{MA} + \vec{MB} = \vec{0}$.

Bài 10. $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$.

Bài 11. Đúng. Nếu $a \vdots 2$ thì $a = 2k$ ($k \in \mathbb{Z}$), suy ra $a^2 = 4k^2 \vdots 4$.

Bài 12. $A = {2, 3}$.

Bài 13. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Bài 14. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Bài 15. $BC^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 16 + 25 - 20 = 21$, suy ra $BC = \sqrt{21}$.

Bài 16. Có, vì $2 \cdot 2 - 3 = 1 \le 1$.

Bài 17. $\vec{AB} = (4; 3)$, $\vec{AC} = (-1; 4)$. Hai vectơ không cùng phương (vì $\dfrac{4}{-1} \ne \dfrac{3}{4}$) nên $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng.

Bài 18. $\vec{BN} = \vec{BA} + \vec{AN} = \vec{BA} + \dfrac{1}{2}\vec{AM}$. Mà $\vec{AM} = -\dfrac{1}{2}\vec{BA} + \dfrac{1}{2}\vec{BC}$ nên $\vec{BN} = \vec{BA} - \dfrac{1}{4}\vec{BA} + \dfrac{1}{4}\vec{BC} = \dfrac{3}{4}\vec{BA} + \dfrac{1}{4}\vec{BC}$.

Bài 19. $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 9 + 16 + 0 = 25$, suy ra $|\vec{a} + \vec{b}| = 5$.

Bài 20. $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$ (vì $AB \perp AC$).

Bài 21. $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Leftrightarrow 3m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{2}{3}$.

Bài 22. $AB = 4$, $BC = 3$, $AC = 5$. Chu vi: $4 + 3 + 5 = 12$.

Bài 23. $\vec{AB} = \vec{CD}$ suy ra $AB \parallel CD$ và $AB = CD$, do đó tứ giác $ABDC$ có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành.

Bài 24. $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$, suy ra $|\vec{AB} + \vec{AD}| = |\vec{AC}| = a\sqrt{2}$.