Bài tập ôn – Toán lớp 10 – HK2 (kiểm tra cuối kỳ)

• Phạm vi: Toàn HK2 — Bài 15 (Hàm số) đến Bài 27 (Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển)

---

Phần 1: Cơ bản

Bài 1. Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt{3x - 6}$.

Bài 2. Tìm đỉnh của parabol $y = -x^2 + 2x + 8$.

Bài 3. Giải bất phương trình: x^2 - x - 6 < 0.

Bài 4. Giải phương trình: $\sqrt{3x - 1} = 2$.

Bài 5. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua $A(3; -2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; 4)$.

Bài 6. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua $B(1; 1)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; -3)$.

Bài 7. Tính khoảng cách từ $P(2; -3)$ đến đường thẳng $x - y + 1 = 0$.

Bài 8. Viết phương trình đường tròn tâm $O(0; 0)$, bán kính $5$.

Bài 9. Tìm tâm và bán kính của đường tròn $x^2 + y^2 + 2x - 8y + 8 = 0$.

Bài 10. Viết phương trình chính tắc của elip có $a = 4$, $b = 3$.

Bài 11. Viết phương trình chính tắc của hypebol có $a = 2$, $b = 5$.

Bài 12. Tính $C(9, 4)$.

Bài 13. Tính $A(6, 2)$.

Bài 14. Khai triển $(x - 2)^3$.

Bài 15. Gieo một con xúc xắc hai lần. Tính xác suất tổng hai mặt bằng $5$.

Bài 16. Một túi có $4$ bi đỏ, $6$ bi xanh. Lấy ngẫu nhiên $1$ bi. Tính xác suất lấy được bi xanh.

Bài 17. Tìm $m$ để đường thẳng $d: mx + 2y - 1 = 0$ vuông góc với $d': x - y + 2 = 0$.

Bài 18. Tìm giao điểm của đường thẳng $d: x + y - 3 = 0$ với đường tròn $(C): x^2 + y^2 = 9$.

Phần 2: Nâng cao

Bài 19. Tìm $m$ để hàm số $y = x^2 - 2x + m$ có giá trị nhỏ nhất bằng $2$ trên $\mathbb{R}$.

Bài 20. Giải bất phương trình: $\dfrac{x^2 - 4}{x - 1} \ge 0$.

Bài 21. Viết phương trình đường thẳng đi qua $A(-1; 2)$ và tạo với trục $Ox$ một góc $45^\circ$.

Bài 22. Viết phương trình đường tròn đi qua gốc tọa độ và có tâm $I(3; -4)$.

Bài 23. Cho elip $(E): \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1$. Tìm tọa độ các đỉnh và các tiêu điểm của $(E)$.

Bài 24. Từ các chữ số $1, 2, 3, 4, 5, 6$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $3$ chữ số khác nhau và lớn hơn $300$?

Bài 25. Tìm hệ số của $x^4$ trong khai triển $(x + 2)^6$.

Bài 26. Một hộp có $8$ bi trắng, $5$ bi đen. Lấy ngẫu nhiên $3$ bi. Tính xác suất để lấy được $3$ bi cùng màu.

Bài 27. Gieo hai đồng xu và một con xúc xắc. Tính xác suất được hai mặt sấp và mặt xúc xắc là $6$.

Bài 28. Tìm $m$ để phương trình $x^2 - 2(m - 1)x + m^2 - 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

---

Đáp án

1. $[2; +\infty)$.
2. $(1; 9)$.
3. $(-2; 3)$.
4. Điều kiện $x \ge \dfrac{1}{3}$; $3x - 1 = 4 \iff x = \dfrac{5}{3}$.
5. $\begin{cases} x = 3 + t \ y = -2 + 4t \end{cases}$.
6. $2x - 3y + 1 = 0$.
7. $d = \dfrac{|2 + 3 + 1|}{\sqrt{2}} = \dfrac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.
8. $x^2 + y^2 = 25$.
9. $I(-1; 4)$, $R = 3$.
10. $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1$.
11. $\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{25} = 1$.
12. $126$.
13. $30$.
14. $x^3 - 6x^2 + 12x - 8$.
15. Có $4$ trường hợp thuận lợi $(1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1)$ trong $36$ trường hợp: xác suất $\dfrac{1}{9}$.
16. $\dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$.
17. Vectơ pháp tuyến của $d$ là $(m; 2)$, của $d'$ là $(1; -1)$. Vuông góc $\iff m \cdot 1 + 2 \cdot (-1) = 0 \iff m = 2$.
18. $y = 3 - x$; thay vào phương trình đường tròn: $x^2 + (3 - x)^2 = 9 \iff 2x^2 - 6x = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = 3$. Giao điểm: $(0; 3)$ và $(3; 0)$.
19. Giá trị nhỏ nhất $m - 1 = 2 \iff m = 3$.
20. Bảng xét dấu với các điểm $-2, 1, 2$: tập nghiệm $[-2; 1) \cup [2; +\infty)$.
21. Hệ số góc $k = \tan 45^\circ = 1$ nên $y - 2 = x + 1 \iff x - y + 3 = 0$.
22. $R = OI = 5$ nên $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25$.
23. Đỉnh: $(\pm 4; 0)$ và $(0; \pm 3)$; tiêu điểm: $(\pm \sqrt{7}; 0)$.
24. Chữ số trăm có $4$ cách ($3, 4, 5, 6$), hai chữ số sau có $A(5, 2) = 20$ cách. Tổng: $4 \times 20 = 80$ số.
25. $C(6, 4) \cdot 2^2 = 60$.
26. $\dfrac{C(8, 3) + C(5, 3)}{C(13, 3)} = \dfrac{56 + 10}{286} = \dfrac{33}{143}$.
27. $\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{24}$.
28. Hai nghiệm trái dấu \iff ac < 0 \iff m^2 - 3 < 0 \iff -\sqrt{3} < m < \sqrt{3}.