Bài tập ôn – Toán lớp 10 – HK2 (1 tiết)

• Phạm vi: Bài 15 (Hàm số) đến Bài 22 (Ba đường conic)

---

Phần 1: Cơ bản

Bài 1. Giải bất phương trình: $x^2 - 5x + 6 \le 0$.

Bài 2. Giải bất phương trình: $-x^2 + 4x - 3 \ge 0$.

Bài 3. Giải phương trình: $\sqrt{2x - 3} = x - 2$.

Bài 4. Giải phương trình: $\sqrt{x^2 - x - 2} = 2x - 2$.

Bài 5. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua $A(1; -2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; 3)$.

Bài 6. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua $A(2; 1)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (3; -4)$.

Bài 7. Tính khoảng cách từ $M(1; 2)$ đến đường thẳng $3x - 4y + 5 = 0$.

Bài 8. Viết phương trình đường tròn có tâm $I(2; -1)$, bán kính $R = 3$.

Bài 9. Xác định tâm và bán kính của đường tròn $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0$.

Bài 10. Viết phương trình chính tắc của elip có $a = 5$, $b = 4$.

Bài 11. Tìm tiêu cự của elip $\dfrac{x^2}{36} + \dfrac{y^2}{20} = 1$.

Bài 12. Viết phương trình chính tắc của hypebol có $a = 3$, $b = 4$.

Bài 13. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $d: x + y - 3 = 0$ với trục $Ox$.

Bài 14. Xét vị trí tương đối của $d_1: x + 2y - 1 = 0$ và $d_2: 2x + 4y + 3 = 0$.

Bài 15. Tìm $m$ để đường thẳng $d: (m - 1)x + 2y - 3 = 0$ song song với $d': x + 2y - 1 = 0$.

Bài 16. Tìm góc giữa hai đường thẳng $d_1: x - y = 0$ và $d_2: x + y = 0$.

Phần 2: Nâng cao

Bài 17. Viết phương trình đường thẳng đi qua $A(1; 2)$ và vuông góc với đường thẳng $2x + y - 1 = 0$.

Bài 18. Viết phương trình đường tròn đi qua $A(0; 0)$, $B(4; 0)$, $C(0; 3)$.

Bài 19. Tìm $m$ để bất phương trình $x^2 - 2x + m \ge 0$ nghiệm đúng với mọi $x$.

Bài 20. Giải bất phương trình: (x - 1)(x + 2) < 0.

Bài 21. Viết phương trình chính tắc của parabol có tiêu điểm $F(2; 0)$.

Bài 22. Tìm tọa độ các tiêu điểm của elip $\dfrac{x^2}{49} + \dfrac{y^2}{24} = 1$.

Bài 23. Cho đường thẳng $d: x + y - 2 = 0$ và điểm $M(3; 4)$. Tìm hình chiếu vuông góc của $M$ lên $d$.

Bài 24. Tìm $m$ để phương trình $\sqrt{x + 1} = x - m$ có nghiệm.

---

Đáp án

1. $[2; 3]$.
2. $[1; 3]$.
3. Điều kiện $x \ge 2$; bình phương: $2x - 3 = x^2 - 4x + 4 \iff x^2 - 6x + 7 = 0 \iff x = 3 \pm \sqrt{2}$. Loại x = 3 - \sqrt{2} < 2. Nghiệm: $x = 3 + \sqrt{2}$.
4. Điều kiện $x \ge 1$; bình phương: $x^2 - x - 2 = 4x^2 - 8x + 4 \iff 3x^2 - 7x + 6 = 0$, \Delta = 49 - 72 < 0. Vô nghiệm.
5. $\begin{cases} x = 1 + 2t \ y = -2 + 3t \end{cases}$.
6. $3x - 4y - 2 = 0$.
7. $d = \dfrac{|3 - 8 + 5|}{5} = 0$.
8. $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$.
9. $I(3; -2)$, $R = 4$.
10. $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$.
11. $c = \sqrt{36 - 20} = 4$ nên tiêu cự bằng $8$.
12. $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$.
13. $(3; 0)$.
14. Song song (vì $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} \ne \dfrac{-1}{3}$).
15. $m = 2$.
16. $90^\circ$.
17. $x - 2y + 3 = 0$.
18. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên tâm là trung điểm của $BC$: $I(2; \tfrac{3}{2})$, $R = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{5}{2}$. Phương trình: $(x - 2)^2 + (y - \tfrac{3}{2})^2 = \dfrac{25}{4}$.
19. $\Delta' = 1 - m \le 0 \iff m \ge 1$.
20. $(-2; 1)$.
21. $y^2 = 8x$.
22. $c = \sqrt{49 - 24} = 5$ nên $F_1(-5; 0)$, $F_2(5; 0)$.
23. Gọi $H(a; 2 - a) \in d$, $\overrightarrow{MH} = (a - 3; -a - 2)$ song song với vectơ pháp tuyến $(1; 1)$ nên $a - 3 = -a - 2 \iff a = \tfrac{1}{2}$. Hình chiếu: $H(\tfrac{1}{2}; \tfrac{3}{2})$.
24. Đặt $x \ge m$; bình phương: $x + 1 = x^2 - 2mx + m^2 \iff x^2 - (2m + 1)x + m^2 - 1 = 0$. Cần $\Delta = (2m + 1)^2 - 4(m^2 - 1) = 4m + 5 \ge 0$ và nghiệm lớn hơn của phương trình luôn $\ge m$. Đáp án: $m \ge -\dfrac{5}{4}$.