Bài 10: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

1. Kiến thức trọng tâm

Trong không gian, có ba tiên đề cơ bản: qua ba điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một mặt phẳng; nếu hai điểm của một đường thẳng thuộc một mặt phẳng thì toàn bộ đường thẳng thuộc mặt phẳng đó; nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung, gọi là giao tuyến.

Một mặt phẳng được xác định duy nhất bởi: ba điểm không thẳng hàng; một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó; hai đường thẳng cắt nhau; hai đường thẳng song song.

Giao tuyến của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là đường thẳng $d$ gồm tất cả các điểm chung của chúng. Để tìm giao tuyến, ta tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng, đường thẳng đi qua hai điểm đó chính là giao tuyến.

Trong không gian, hai đường thẳng có thể song song, cắt nhau, chéo nhau hoặc trùng nhau. Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nào.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ. Cho tứ diện $ABCD$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(ABD)$.

Lời giải. Hai mặt phẳng có hai điểm chung $A$ và $B$, nên giao tuyến là đường thẳng $AB$.

Ví dụ. Cho hình chóp $S.ABCD$ với đáy $ABCD$ là hình bình hành. Tìm giao điểm của đường thẳng $AC$ với mặt phẳng $(SBD)$.

Lời giải. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Vì $O$ thuộc $BD$ nên $O$ thuộc mặt phẳng $(SBD)$. Mặt khác $O$ thuộc $AC$. Vậy giao điểm của $AC$ và $(SBD)$ là $O$.

3. Ghi nhớ

• Muốn chứng minh một điểm thuộc mặt phẳng, hãy chỉ ra điểm đó thuộc một đường thẳng nằm trong mặt phẳng.
• Muốn tìm giao tuyến, tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng.
• Muốn tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, dùng mặt phẳng phụ chứa đường thẳng.
• Vẽ hình rõ ràng, dùng nét đứt cho phần bị khuất để dễ quan sát các quan hệ trong không gian.