Bài 11: Hai đường thẳng song song

1. Kiến thức trọng tâm

Trong không gian, hai đường thẳng được gọi là song song nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung. Kí hiệu $a \parallel b$. Nếu hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng thì chúng chéo nhau. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Qua một điểm $M$ không nằm trên đường thẳng $a$, có duy nhất một đường thẳng đi qua $M$ và song song với $a$. Định lí giao tuyến: nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với cả hai đường thẳng đó.

Định lí quan trọng: nếu một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó song song. Khi chứng minh, cần chỉ rõ hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng trước khi kết luận chúng song song.

2. Ví dụ minh họa

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Chứng minh $AB \parallel CD$ và $AD \parallel BC$.

Lời giải: Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB$ và $CD$ cùng nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$, đồng thời $AB = CD$ và $AB$ không cắt $CD$. Do đó $AB \parallel CD$. Tương tự, $AD$ và $BC$ cùng nằm trong $(ABCD)$ và không có điểm chung nên $AD \parallel BC$.

Một ví dụ khác: cho tứ diện $ABCD$, gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, AC$. Khi đó $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MN \parallel BC$ và $MN = \dfrac{1}{2}BC$. Đường thẳng $MN$ nằm trong mặt phẳng $(ABC)$ cùng với $BC$.

3. Ghi nhớ

• Hai đường thẳng song song phải đồng phẳng và không có điểm chung.
• Qua một điểm ngoài đường thẳng có duy nhất một đường thẳng song song với nó.
• Dùng đường trung bình, hình bình hành, định lí giao tuyến để chứng minh song song.