Bài 12: Đường thẳng và mặt phẳng song song

1. Kiến thức trọng tâm

Đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $(\alpha)$ nếu $d$ và $(\alpha)$ không có điểm chung, kí hiệu $d \parallel (\alpha)$. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng: nếu đường thẳng $d$ không nằm trong $(\alpha)$ và song song với một đường thẳng $a$ nằm trong $(\alpha)$ thì $d \parallel (\alpha)$.

Hệ quả: nếu $d \parallel (\alpha)$ và mặt phẳng $(\beta)$ chứa $d$ cắt $(\alpha)$ theo giao tuyến $a$ thì $a \parallel d$. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với đường thẳng đó.

Khi chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, ta thường tìm một đường thẳng trong mặt phẳng song song với nó, chẳng hạn dùng đường trung bình của tam giác hoặc tính chất hình bình hành. Chú ý: đường thẳng song song với mặt phẳng thì song song với vô số đường thẳng trong mặt phẳng, nhưng không song song với mọi đường thẳng trong mặt phẳng đó.

2. Ví dụ minh họa

Cho tứ diện $ABCD$, gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AD$. Chứng minh $MN \parallel (BCD)$.

Lời giải: Trong tam giác $ABD$, $M$ là trung điểm của $AB$ và $N$ là trung điểm của $AD$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABD$. Suy ra $MN \parallel BD$ và $MN = \dfrac{1}{2}BD$. Mặt khác, $BD$ nằm trong mặt phẳng $(BCD)$ còn $MN$ không nằm trong $(BCD)$ (vì $M, N$ không thuộc $(BCD)$). Do đó $MN \parallel (BCD)$.

Một ví dụ khác: cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Gọi $M$ là trung điểm của $SA$. Trong tam giác $SAC$, $OM$ là đường trung bình nên $OM \parallel SC$. Vì $SC$ nằm trong $(SBC)$ và $OM$ không nằm trong $(SBC)$ nên $OM \parallel (SBC)$.

3. Ghi nhớ

• Muốn chứng minh $d \parallel (\alpha)$: tìm đường thẳng $a \subset (\alpha)$ sao cho $d \parallel a$ và $d \not\subset (\alpha)$.
• Đường trung bình và hình bình hành là công cụ thường dùng nhất.
• Giao tuyến của mặt phẳng chứa $d$ với $(\alpha)$ song song với $d$.