Bài 13: Hai mặt phẳng song song

1. Kiến thức trọng tâm

Hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung, kí hiệu $(\alpha) \parallel (\beta)$. Điều kiện để hai mặt phẳng song song: nếu mặt phẳng $(\alpha)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $a, b$ lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau $a', b'$ trong mặt phẳng $(\beta)$ thì $(\alpha) \parallel (\beta)$.

Tính chất: Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song song với nhau. Nếu hai mặt phẳng song song và một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia (sẽ học kĩ ở chương quan hệ vuông góc).

Một hệ quả hay dùng: qua một điểm ngoài mặt phẳng có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho. Ngoài ra, hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. Khi chứng minh hai mặt phẳng song song, ta thường chứng minh hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng này song song với mặt phẳng kia.

2. Ví dụ minh họa

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh $(ABC) \parallel (A'B'C'D')$.

Lời giải: Ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $AB \parallel CD$ và $AD \parallel BC$. Trong hình hộp, $ABB'A'$ là hình bình hành nên $AB \parallel A'B'$, và $ADD'A'$ là hình bình hành nên $AD \parallel A'D'$. Hai đường thẳng $AB, AD$ cắt nhau tại $A$ và nằm trong $(ABC)$; hai đường thẳng $A'B', A'D'$ cắt nhau tại $A'$ và nằm trong $(A'B'C'D')$. Vì $AB \parallel A'B'$ và $AD \parallel A'D'$ nên $(ABC) \parallel (A'B'C'D')$.

Một ví dụ khác: cho tứ diện $ABCD$, gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $AB, AC, AD$. Khi đó $MN \parallel BC$, $MP \parallel BD$ nên mặt phẳng $(MNP)$ song song với mặt phẳng $(BCD)$.

3. Ghi nhớ

• Muốn chứng minh $(\alpha) \parallel (\beta)$: tìm hai đường thẳng cắt nhau trong $(\alpha)$ lần lượt song song với $(\beta)$.
• Hai mặt phẳng song song bị cắt bởi mặt phẳng thứ ba cho hai giao tuyến song song.
• Đường trung bình thường giúp chứng minh các cặp đường thẳng song song.