Bài tập cuối chương 9

1. Kiến thức trọng tâm

Chương 9 trình bày định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm và đạo hàm cấp hai. Đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_0$ là giới hạn $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn, kí hiệu $f'(x_0)$. Về mặt hình học, $f'(x_0)$ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x_0$. Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(x_0; f(x_0))$ là $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$. Về mặt vật lí, đạo hàm của hàm vị trí theo thời gian là vận tốc tức thời.

Các công thức đạo hàm cơ bản: $(c)' = 0$, $(x^n)' = n x^{n-1}$, $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$, $(e^x)' = e^x$, $(\ln x)' = \frac{1}{x}$. Các quy tắc: $(u + v)' = u' + v'$, $(u \cdot v)' = u'v + uv'$, $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ với $v \ne 0$, $(c \cdot u)' = c \cdot u'$. Quy tắc đạo hàm hàm hợp: nếu $y = f(g(x))$ thì $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Đạo hàm cấp hai là đạo hàm của đạo hàm: $f''(x) = (f'(x))'$. Đạo hàm cấp hai có ý nghĩa vật lí là gia tốc tức thời của chuyển động khi $f$ là hàm vị trí.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 1$.

Lời giải: $f'(x) = 3x^2 - 4x + 5$.

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $y = x^2$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$.

Lời giải: $y' = 2x$ nên $y'(1) = 2$, $y(1) = 1$. Phương trình tiếp tuyến: $y = 2(x - 1) + 1$, tức $y = 2x - 1$.

Ví dụ 3: Tính đạo hàm cấp hai của $f(x) = \sin x$.

Lời giải: $f'(x) = \cos x$, $f''(x) = -\sin x$.

3. Ghi nhớ

• Đạo hàm tại một điểm cho hệ số góc tiếp tuyến; đừng nhầm với giá trị hàm số tại điểm đó.
• Đạo hàm của hàm hợp phải nhân thêm đạo hàm của hàm bên trong.
• Kiểm tra điều kiện xác định trước khi tính đạo hàm của hàm phân thức và hàm căn.