Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

1. Kiến thức trọng tâm

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm được tính theo công thức $\bar{x} = \frac{\sum n_i c_i}{n}$, trong đó $n_i$ là tần số của nhóm thứ $i$, $c_i$ là giá trị đại diện của nhóm đó, $n$ là tổng số số liệu. Số trung bình cho biết giá trị "đại diện" của toàn bộ mẫu, nhưng nhạy cảm với các giá trị ngoại lệ.

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị chia mẫu thành hai phần bằng nhau. Để tìm trung vị, ta xác định nhóm chứa trung vị (nhóm đầu tiên mà tần số tích lũy đạt ít nhất một nửa tổng số số liệu), rồi dùng công thức nội suy tuyến tính trong nhóm đó.

Tứ phân vị chia mẫu số liệu thành bốn phần bằng nhau, gồm $Q_1$, $Q_2$ (chính là trung vị) và $Q_3$. Cách xác định tứ phân vị tương tự như trung vị, nhưng với các vị trí $\frac{n}{4}$, $\frac{n}{2}$ và $\frac{3n}{4}$.

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị nằm trong nhóm có tần số lớn nhất.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ. Mẫu số liệu ghép nhóm có các nhóm $[0; 10)$, $[10; 20)$, $[20; 30)$ với tần số lần lượt là $4$, $6$, $10$. Tính số trung bình.

Lời giải. Các giá trị đại diện là $5$, $15$, $25$. Số trung bình $\bar{x} = \frac{4 \cdot 5 + 6 \cdot 15 + 10 \cdot 25}{20} = \frac{20 + 90 + 250}{20} = 18$.

Ví dụ. Với mẫu trên, nhóm chứa trung vị là nhóm nào?

Lời giải. Tổng số liệu $n = 20$, vị trí trung vị là $\frac{20}{2} = 10$. Tần số tích lũy: nhóm đầu $4$, hai nhóm đầu $10$. Vậy nhóm chứa trung vị là nhóm $[10; 20)$.

3. Ghi nhớ

• Số trung bình dùng giá trị đại diện, không dùng đầu mút của nhóm.
• Trung vị và tứ phân vị ít bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lệ hơn số trung bình.
• Tần số tích lũy là chìa khóa để xác định nhóm chứa trung vị và tứ phân vị.
• Mốt của mẫu ghép nhóm được xác định theo nhóm, không phải theo từng giá trị cụ thể.