Bài tập cuối chương 8

1. Kiến thức trọng tâm

Chương 8 trình bày các quy tắc tính xác suất: biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập, công thức cộng và công thức nhân xác suất. Không gian mẫu $\Omega$ là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử. Biến cố là một tập con của không gian mẫu.

Biến cố hợp $A \cup B$ xảy ra khi $A$ xảy ra hoặc $B$ xảy ra. Biến cố giao $A \cap B$ xảy ra khi cả $A$ và $B$ cùng xảy ra. Hai biến cố $A$ và $B$ xung khắc nếu chúng không thể cùng xảy ra, tức $A \cap B = \varnothing$. Hai biến cố $A$ và $B$ độc lập nếu việc xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.

Công thức cộng: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$; nếu $A$, $B$ xung khắc thì $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$. Công thức nhân: nếu $A$, $B$ độc lập thì $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Biến cố đối: $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc cân đối. Gọi $A$ là biến cố "số chấm chẵn", $B$ là biến cố "số chấm lớn hơn $4$". Tính $P(A \cup B)$.

Lời giải: $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, $P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$, $A \cap B = {6}$ nên $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$. Vậy $P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$.

Ví dụ 2: Hai xạ thủ độc lập bắn vào một bia, xác suất bắn trúng lần lượt là $0,8$ và $0,7$. Tính xác suất cả hai cùng bắn trúng.

Lời giải: Vì hai biến cố độc lập, xác suất cần tìm là $0,8 \cdot 0,7 = 0,56$.

3. Ghi nhớ

• Phân biệt xung khắc (không cùng xảy ra) và độc lập (không ảnh hưởng xác suất của nhau).
• Công thức cộng luôn trừ đi $P(A \cap B)$; chỉ bỏ số hạng này khi hai biến cố xung khắc.
• Khi bài toán hỏi "ít nhất một", hãy nghĩ ngay đến biến cố đối để tính nhanh hơn.