Bài tập — Bài 15: Giới hạn của dãy số

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

Câu 1. Nội dung nào sau đây phản ánh đúng kiến thức cần ghi nhớ trong bài Bài 15: Giới hạn của dãy số? A. $\lim \dfrac{1}{n^k} = 0$ ( $k > 0$ ); $\lim q^n = 0$ khi $|q| < 1$ . B. Bỏ qua các khái niệm cơ bản và chỉ học thuộc lòng kết quả cuối cùng mà không cần hiểu bản chất. C. Chỉ áp dụng kiến thức trong một trường hợp duy nhất, không cần kiểm tra điều kiện hay đơn vị. D. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác.

Câu 2. Khi học và vận dụng bài Bài 15: Giới hạn của dãy số, khẳng định nào dưới đây là chính xác? A. Không cần đọc kĩ đề bài hay phân tích dữ kiện trước khi thực hiện các bước giải. B. Dạng $\dfrac{\infty}{\infty}$ : chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của $n$ (hoặc của cơ số lớn nhất). C. Mọi khái niệm trong bài đều có thể thay thế tùy ý cho nhau mà không làm thay đổi kết quả. D. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại.

Câu 3. Theo phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 15: Giới hạn của dãy số, phát biểu nào sau đây là đúng? A. Kết luận ngay kết quả khi chưa đối chiếu với quy tắc hoặc định nghĩa trong bài học. B. Thay đổi toàn bộ quy tắc trọng tâm của bài học theo cảm tính cá nhân. C. Dãy số $(u_n)$ có giới hạn $0$ khi $n$ dần tới vô cực nếu với mọi số dương nhỏ tùy ý, từ một số hạng nào đó trở đi, tất cả các số hạng đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số đó. D. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học.

Câu 4. Để nắm vững và vận dụng tốt bài Bài 15: Giới hạn của dãy số, học sinh cần lưu ý điều nào sau đây? A. Không cần ghi nhớ các lưu ý trọng tâm vì chúng không ảnh hưởng đến việc làm bài tập. B. Áp dụng ngược lại hoàn toàn so với quy tắc và hướng dẫn trong phần kiến thức trọng tâm. C. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục. D. Một số giới hạn cơ bản: $\lim \dfrac{1}{n} = 0$ , $\lim \dfrac{1}{n^k} = 0$ với $k > 0$ , $\lim q^n = 0$ nếu $|q| < 1$ .

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Bài 1 (Cơ bản — Hệ thống hóa kiến thức trọng tâm). Dựa vào phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 15: Giới hạn của dãy số, em hãy trình bày các khái niệm, quy tắc hoặc nội dung cốt lõi của tiết học và nêu ý nghĩa của chúng.

Bài 2 (Thực hành — Phân tích & Giải mẫu theo ví dụ tiết học). Đọc kĩ tình huống/ví dụ trọng tâm của tiết học dưới đây, sau đó tự trình bày lại các bước thực hiện và nêu nhận xét rút ra:

Tính $\lim \dfrac{3n^2 + 2n - 1}{2n^2 - n + 5}$ .

Bài 3 (Vận dụng — Áp dụng quy tắc ghi nhớ vào bài tập). Vận dụng các điểm ghi nhớ trọng tâm của bài Bài 15: Giới hạn của dãy số để giải thích hoặc thực hiện yêu cầu thực hành mở rộng sau:

Lời giải: Chia cả tử và mẫu cho $n^2$ , ta được

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Tính $\lim_{x \to 0} \dfrac{x^2+2x}{x}$ .

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Tính $\log_4 64$ .

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Tính đạo hàm của hàm số $f(x) = x^2 + 3x$ .

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-A, 2-B, 3-C, 4-D.
Giải thích chi tiết:
- Câu 1 (A): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: " $\lim \dfrac{1}{n^k} = 0$ ( $k > 0$ ); $\lim q^n = 0$ khi $|q| < 1$ ."
- Câu 2 (B): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Dạng $\dfrac{\infty}{\infty}$ : chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của $n$ (hoặc của cơ số lớn nhất)."
- Câu 3 (C): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Dãy số $(u_n)$ có giới hạn $0$ khi $n$ dần tới vô cực nếu với mọi số dương nhỏ tùy ý, từ một số hạng nào đó trở đi, tất cả các số hạng đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số đó."
- Câu 4 (D): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Một số giới hạn cơ bản: $\lim \dfrac{1}{n} = 0$ , $\lim \dfrac{1}{n^k} = 0$ với $k > 0$ , $\lim q^n = 0$ nếu $|q| < 1$ ."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:
- Nội dung cốt lõi cần trình bày: Dãy số $(u_n)$ có giới hạn $0$ khi $n$ dần tới vô cực nếu với mọi số dương nhỏ tùy ý, từ một số hạng nào đó trở đi, tất cả các số hạng đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số đó. Tổng quát, $\lim u_n = L$ nếu $\lim (u_n - L) = 0$ .
- Tổng kết ghi nhớ: $\lim \dfrac{1}{n^k} = 0$ ( $k > 0$ ); $\lim q^n = 0$ khi $|q| < 1$ .; Dạng $\dfrac{\infty}{\infty}$ : chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của $n$ (hoặc của cơ số lớn nhất).; Kiểm tra dấu và điều kiện mẫu khác $0$ khi dùng quy tắc thương.
Bài 2:
- Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Tính $\lim \dfrac{3n^2 + 2n - 1}{2n^2 - n + 5}$ .
- Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.
Bài 3:
- Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 15: Giới hạn của dãy số ( $\lim \dfrac{1}{n^k} = 0$ ( $k > 0$ ); $\lim q^n = 0$ khi $|q| < 1$ .; Dạng $\dfrac{\infty}{\infty}$ : chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của $n$ (hoặc của cơ số lớn nhất).; Kiểm tra dấu và điều kiện mẫu khác $0$ khi dùng quy tắc thương.).
- Lời giải mẫu/Nhận xét: Lời giải: Chia cả tử và mẫu cho $n^2$ , ta được
Bài 4: $2$
Bài 5: $3$
Bài 6: $f'(x) = 2x + 3$

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

Câu 1. Nội dung nào sau đây phản ánh đúng kiến thức cần ghi nhớ trong bài Bài 15: Giới hạn của dãy số? A.

\lim \dfrac{1}{n^k} = 0

(

k &gt; 0

);

\lim q^n = 0

khi

|q| &lt; 1

. B. Bỏ qua các khái niệm cơ bản và chỉ học thuộc lòng kết quả cuối cùng mà không cần hiểu bản chất. C. Chỉ áp dụng kiến thức trong một trường hợp duy nhất, không cần kiểm tra điều kiện hay đơn vị. D. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác.

\dfrac{\infty}{\infty}

: chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của

n

(hoặc của cơ số lớn nhất). C. Mọi khái niệm trong bài đều có thể thay thế tùy ý cho nhau mà không làm thay đổi kết quả. D. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại.

(u_n)

có giới hạn

0

khi

n

dần tới vô cực nếu với mọi số dương nhỏ tùy ý, từ một số hạng nào đó trở đi, tất cả các số hạng đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số đó. D. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học.

\lim \dfrac{1}{n} = 0

\lim \dfrac{1}{n^k} = 0

với

k &gt; 0

\lim q^n = 0

nếu

|q| &lt; 1

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Tính $\lim \dfrac{3n^2 + 2n - 1}{2n^2 - n + 5}$ .

Lời giải: Chia cả tử và mẫu cho $n^2$ , ta được

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Tính

\lim_{x \to 0} \dfrac{x^2+2x}{x}

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Tính

\log_4 64

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Tính đạo hàm của hàm số

f(x) = x^2 + 3x

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-A, 2-B, 3-C, 4-D.

Giải thích chi tiết:

Câu 1 (A): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: " $\lim \dfrac{1}{n^k} = 0$ ( $k > 0$ ); $\lim q^n = 0$ khi $|q| < 1$ ."
Câu 2 (B): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Dạng $\dfrac{\infty}{\infty}$ : chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của $n$ (hoặc của cơ số lớn nhất)."
Câu 3 (C): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Dãy số $(u_n)$ có giới hạn $0$ khi $n$ dần tới vô cực nếu với mọi số dương nhỏ tùy ý, từ một số hạng nào đó trở đi, tất cả các số hạng đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số đó."
Câu 4 (D): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Một số giới hạn cơ bản: $\lim \dfrac{1}{n} = 0$ , $\lim \dfrac{1}{n^k} = 0$ với $k > 0$ , $\lim q^n = 0$ nếu $|q| < 1$ ."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:

Nội dung cốt lõi cần trình bày: Dãy số $(u_n)$ có giới hạn $0$ khi $n$ dần tới vô cực nếu với mọi số dương nhỏ tùy ý, từ một số hạng nào đó trở đi, tất cả các số hạng đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số đó. Tổng quát, $\lim u_n = L$ nếu $\lim (u_n - L) = 0$ .
Tổng kết ghi nhớ: $\lim \dfrac{1}{n^k} = 0$ ( $k > 0$ ); $\lim q^n = 0$ khi $|q| < 1$ .; Dạng $\dfrac{\infty}{\infty}$ : chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của $n$ (hoặc của cơ số lớn nhất).; Kiểm tra dấu và điều kiện mẫu khác $0$ khi dùng quy tắc thương.

Bài 2:

Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Tính $\lim \dfrac{3n^2 + 2n - 1}{2n^2 - n + 5}$ .
Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.

Bài 3:

Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 15: Giới hạn của dãy số ( $\lim \dfrac{1}{n^k} = 0$ ( $k > 0$ ); $\lim q^n = 0$ khi $|q| < 1$ .; Dạng $\dfrac{\infty}{\infty}$ : chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của $n$ (hoặc của cơ số lớn nhất).; Kiểm tra dấu và điều kiện mẫu khác $0$ khi dùng quy tắc thương.).
Lời giải mẫu/Nhận xét: Lời giải: Chia cả tử và mẫu cho $n^2$ , ta được

Bài 4:

2

Bài 5:

3

Bài 6:

f'(x) = 2x + 3