Bài 15: Giới hạn của dãy số

1. Kiến thức trọng tâm

Dãy số $(u_n)$ có giới hạn $0$ khi $n$ dần tới vô cực nếu với mọi số dương nhỏ tùy ý, từ một số hạng nào đó trở đi, tất cả các số hạng đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số đó. Kí hiệu $\lim u_n = 0$. Tổng quát, $\lim u_n = L$ nếu $\lim (u_n - L) = 0$.

Một số giới hạn cơ bản: $\lim \dfrac{1}{n} = 0$, $\lim \dfrac{1}{n^k} = 0$ với k > 0, $\lim q^n = 0$ nếu |q| < 1. Nếu |q| > 1 thì $|q^n|$ dần tới $+\infty$.

Các quy tắc tính giới hạn: nếu $\lim u_n = a$ và $\lim v_n = b$ thì $\lim (u_n + v_n) = a + b$, $\lim (u_n \cdot v_n) = a \cdot b$, $\lim \dfrac{u_n}{v_n} = \dfrac{a}{b}$ (nếu $b \ne 0$). Khi gặp dạng vô định $\dfrac{\infty}{\infty}$, ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của $n$. Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn.

2. Ví dụ minh họa

Tính $\lim \dfrac{3n^2 + 2n - 1}{2n^2 - n + 5}$.

Lời giải: Chia cả tử và mẫu cho $n^2$, ta được

$$\frac{3n^2 + 2n - 1}{2n^2 - n + 5} = \frac{3 + \dfrac{2}{n} - \dfrac{1}{n^2}}{2 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{5}{n^2}}.$$

Vì $\lim \dfrac{1}{n} = 0$ và $\lim \dfrac{1}{n^2} = 0$ nên giới hạn cần tìm bằng $\dfrac{3 + 0 - 0}{2 - 0 + 0} = \dfrac{3}{2}$.

Ví dụ khác: tính $\lim \dfrac{2^n + 3^n}{3^n + 1}$. Chia cả tử và mẫu cho $3^n$:

$$\frac{2^n + 3^n}{3^n + 1} = \frac{\left(\dfrac{2}{3}\right)^n + 1}{1 + \dfrac{1}{3^n}} \to \frac{0 + 1}{1 + 0} = 1,$$

vì $\lim \left(\dfrac{2}{3}\right)^n = 0$ do \left|\dfrac{2}{3}\right| < 1.

3. Ghi nhớ

• $\lim \dfrac{1}{n^k} = 0$ (k > 0); $\lim q^n = 0$ khi |q| < 1.
• Dạng $\dfrac{\infty}{\infty}$: chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của $n$ (hoặc của cơ số lớn nhất).
• Kiểm tra dấu và điều kiện mẫu khác $0$ khi dùng quy tắc thương.