Bài 16: Giới hạn của hàm số

1. Kiến thức trọng tâm

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên một khoảng chứa $x_0$ (có thể trừ $x_0$). Ta nói $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ nếu khi $x$ dần tới $x_0$, giá trị $f(x)$ dần tới $L$. Giới hạn một phía: $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ là giới hạn khi $x$ tiến tới $x_0$ từ bên phải, $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ là giới hạn khi $x$ tiến tới $x_0$ từ bên trái. Giới hạn tồn tại khi hai giới hạn một phía bằng nhau.

Giới hạn tại vô cực: $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ nếu khi $x$ lớn tùy ý, $f(x)$ gần $L$ tùy ý. Các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia giới hạn tương tự như giới hạn dãy số. Giới hạn của hàm đa thức tại $x_0$ bằng giá trị của hàm tại $x_0$. Giới hạn của hàm phân thức tại $x_0$ (mẫu khác $0$) cũng bằng giá trị tại $x_0$.

Khi gặp dạng vô định $\dfrac{0}{0}$, ta thường phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi rút gọn, hoặc nhân liên hợp. Dạng $\dfrac{\infty}{\infty}$ thì chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của $x$.

2. Ví dụ minh họa

Tính $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$.

Lời giải: Với $x \ne 2$, ta có $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2$. Do đó $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$.

Ví dụ khác: tính $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2 + 3x - 1}{x^2 - 5}$. Chia cả tử và mẫu cho $x^2$:

$$\frac{2x^2 + 3x - 1}{x^2 - 5} = \frac{2 + \dfrac{3}{x} - \dfrac{1}{x^2}}{1 - \dfrac{5}{x^2}} \to \frac{2 + 0 - 0}{1 - 0} = 2.$$

Vậy $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2 + 3x - 1}{x^2 - 5} = 2$.

3. Ghi nhớ

• Giới hạn tồn tại khi hai giới hạn một phía bằng nhau.
• Dạng $\dfrac{0}{0}$: phân tích thành nhân tử, rút gọn hoặc nhân liên hợp.
• Dạng $\dfrac{\infty}{\infty}$: chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của $x$.