Bài 17: Hàm số liên tục

1. Kiến thức trọng tâm

Hàm số $f(x)$ được gọi là liên tục tại điểm $x_0$ nếu thỏa mãn ba điều kiện: $f(x)$ xác định tại $x_0$; tồn tại $\lim_{x \to x_0} f(x)$; và $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Nếu một trong ba điều kiện không thỏa mãn thì hàm số gián đoạn tại $x_0$.

Hàm số được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. Các hàm đa thức, hàm phân thức (trên tập xác định), hàm lượng giác, hàm mũ và hàm lôgarit đều liên tục trên tập xác định của chúng. Tổng, hiệu, tích, thương (mẫu khác $0$) của các hàm liên tục cũng liên tục.

Tính chất quan trọng: nếu hàm số $f$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ và f(a) \cdot f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một số $c \in (a; b)$ sao cho $f(c) = 0$. Tính chất này dùng để chứng minh phương trình có nghiệm trong một khoảng.

2. Ví dụ minh họa

Xét tính liên tục của hàm số $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} & \text{khi } x \ne 1 \ 3 & \text{khi } x = 1 \end{cases}$ tại $x_0 = 1$.

Lời giải: Ta có $f(1) = 3$. Với $x \ne 1$, $\dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1$ nên $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2$. Vì $\lim_{x \to 1} f(x) = 2 \ne 3 = f(1)$ nên hàm số gián đoạn tại $x_0 = 1$.

Ví dụ khác: chứng minh phương trình $x^3 - 3x + 1 = 0$ có nghiệm trong khoảng $(0; 1)$. Xét $f(x) = x^3 - 3x + 1$ liên tục trên $\mathbb{R}$, f(0) = 1 > 0, f(1) = -1 < 0 nên f(0) \cdot f(1) < 0. Theo tính chất trên, tồn tại $c \in (0; 1)$ sao cho $f(c) = 0$, tức phương trình có nghiệm trong $(0; 1)$.

3. Ghi nhớ

• Liên tục tại $x_0$ khi: xác định tại $x_0$, có giới hạn tại $x_0$, giới hạn bằng giá trị hàm.
• Hàm đa thức, phân thức, lượng giác, mũ, lôgarit liên tục trên tập xác định.
• Dùng f(a) \cdot f(b) < 0 để chứng minh phương trình có nghiệm.