Bài 18: Lũy thừa với số mũ thực

1. Kiến thức trọng tâm

Cho a > 0 và $\alpha$ là số thực. Lũy thừa $a^\alpha$ được định nghĩa bằng giới hạn của $a^{r_n}$ trong đó $(r_n)$ là dãy số hữu tỉ dần tới $\alpha$. Với $a = 1$ thì $1^\alpha = 1$ với mọi $\alpha$. Quy ước $a^0 = 1$ với $a \ne 0$.

Các tính chất của lũy thừa với số mũ thực (với a, b > 0 và $m, n \in \mathbb{R}$): $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$; $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$; $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$; $(ab)^n = a^n \cdot b^n$; $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$. Ngoài ra, nếu a > 1 thì a^m > a^n khi m > n; nếu 0 < a < 1 thì a^m < a^n khi m > n.

Căn bậc $n$ liên hệ với lũy thừa: $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$ với a > 0. Các tính chất trên giúp biến đổi và rút gọn biểu thức chứa căn và lũy thừa, đồng thời là cơ sở để giải phương trình, bất phương trình mũ.

2. Ví dụ minh họa

Rút gọn biểu thức $P = \dfrac{a^{\sqrt{2}} \cdot a^{1 - \sqrt{2}}}{a^{2}}$ với a > 0.

Lời giải: Áp dụng tính chất nhân lũy thừa cùng cơ số: $a^{\sqrt{2}} \cdot a^{1 - \sqrt{2}} = a^{\sqrt{2} + 1 - \sqrt{2}} = a^1 = a$. Do đó $P = \dfrac{a}{a^2} = \dfrac{1}{a} = a^{-1}$.

Ví dụ khác: so sánh $2^{\sqrt{3}}$ và $2^{1,7}$. Vì 2 > 1 và \sqrt{3} \approx 1,732 > 1,7 nên 2^{\sqrt{3}} > 2^{1,7}. Ngược lại, với cơ số 0 < \dfrac{1}{2} < 1, ta có \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\sqrt{3}} < \left(\dfrac{1}{2}\right)^{1,7} vì số mũ lớn hơn cho giá trị nhỏ hơn.

3. Ghi nhớ

• $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$; $(a^m)^n = a^{mn}$; $(ab)^n = a^n b^n$.
• Cơ số > 1: số mũ lớn hơn cho lũy thừa lớn hơn; cơ số trong $(0; 1)$ thì ngược lại.
• $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$ với a > 0; luôn đặt điều kiện cơ số dương.