Bài 19: Lôgarit

1. Kiến thức trọng tâm

Cho a > 0, $a \ne 1$ và b > 0. Lôgarit cơ số $a$ của $b$, kí hiệu $\log_a b$, là số $\alpha$ sao cho $a^\alpha = b$. Như vậy $\log_a b = \alpha \iff a^\alpha = b$. Hai lôgarit đặc biệt: lôgarit thập phân $\log b = \log_{10} b$ và lôgarit tự nhiên $\ln b = \log_e b$, với $e \approx 2,718$.

Tính chất: $\log_a 1 = 0$; $\log_a a = 1$; $a^{\log_a b} = b$; $\log_a a^b = b$. Các quy tắc: $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$; $\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$; $\log_a x^k = k \log_a x$ (với x, y > 0). Công thức đổi cơ số: $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$ với c > 0, $c \ne 1$, suy ra $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$.

Điều kiện xác định của $\log_a f(x)$ là f(x) > 0, a > 0, $a \ne 1$. Khi biến đổi lôgarit, cần kiểm tra điều kiện để không làm mất hoặc thêm nghiệm.

2. Ví dụ minh họa

Tính $\log_2 8 + \log_2 \dfrac{1}{4}$.

Lời giải: $\log_2 8 = 3$ vì $2^3 = 8$. $\log_2 \dfrac{1}{4} = -2$ vì $2^{-2} = \dfrac{1}{4}$. Vậy tổng bằng $3 + (-2) = 1$. Có thể tính nhanh bằng quy tắc tích: $\log_2 8 + \log_2 \dfrac{1}{4} = \log_2 \left(8 \cdot \dfrac{1}{4}\right) = \log_2 2 = 1$.

Ví dụ khác: rút gọn $P = \log_3 27 - 2\log_3 9$. Ta có $\log_3 27 = 3$ vì $3^3 = 27$; $\log_3 9 = 2$ vì $3^2 = 9$. Do đó $P = 3 - 2 \cdot 2 = -1$. Kiểm tra bằng quy tắc: $P = \log_3 27 - \log_3 9^2 = \log_3 \dfrac{27}{81} = \log_3 \dfrac{1}{3} = -1$.

3. Ghi nhớ

• $\log_a b = \alpha \iff a^\alpha = b$; $\log_a 1 = 0$; $\log_a a = 1$.
• Lôgarit của tích, thương, lũy thừa; công thức đổi cơ số.
• Luôn đặt điều kiện: cơ số dương khác $1$, biểu thức trong lôgarit dương.