Bài 20: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

1. Kiến thức trọng tâm

Hàm số mũ là hàm số có dạng $y = a^x$ với a > 0, $a \ne 1$, xác định trên $\mathbb{R}$. Nếu a > 1, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$; nếu 0 < a < 1, hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Đồ thị của hàm số mũ luôn đi qua điểm $(0; 1)$ và nằm phía trên trục hoành.

Hàm số lôgarit là hàm số có dạng $y = \log_a x$ với a > 0, $a \ne 1$, xác định trên $(0; +\infty)$. Nếu a > 1, hàm số đồng biến; nếu 0 < a < 1, hàm số nghịch biến. Đồ thị của hàm số lôgarit luôn đi qua điểm $(1; 0)$ và nằm bên phải trục tung.

Hai hàm số $y = a^x$ và $y = \log_a x$ là hai hàm số ngược nhau nên đồ thị của chúng đối xứng với nhau qua đường thẳng $y = x$. Tính đơn điệu của hàm số mũ và lôgarit là công cụ quan trọng để giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit: với a > 1, a^x > a^y \iff x > y; với 0 < a < 1, a^x > a^y \iff x < y.

2. Ví dụ minh họa

Xét tính đơn điệu của hàm số $y = 2^x$ và $y = \log_{0,5} x$.

Lời giải: Hàm số $y = 2^x$ có cơ số 2 > 1 nên đồng biến trên $\mathbb{R}$. Chẳng hạn 2^1 = 2 < 2^2 = 4. Hàm số $y = \log_{0,5} x$ có cơ số $0,5 \in (0; 1)$ nên nghịch biến trên $(0; +\infty)$. Chẳng hạn \log_{0,5} 1 = 0 > \log_{0,5} 2 = -1.

Ví dụ khác: giải bất phương trình 3^{x - 1} > 9. Vì $9 = 3^2$ và cơ số 3 > 1 nên bất phương trình tương đương với x - 1 > 2, tức x > 3. Tập nghiệm là $(3; +\infty)$.

3. Ghi nhớ

• $y = a^x$: tập xác định $\mathbb{R}$, đi qua $(0; 1)$, a > 1 đồng biến, 0 < a < 1 nghịch biến.
• $y = \log_a x$: tập xác định $(0; +\infty)$, đi qua $(1; 0)$, tính đơn điệu theo cơ số tương tự.
• Hai đồ thị đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x$.