Bài 21: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

1. Kiến thức trọng tâm

Phương trình mũ là phương trình chứa ẩn ở số mũ, dạng thường gặp là $a^{f(x)} = b$ với a > 0, $a \ne 1$. Cách giải cơ bản là đưa hai vế về cùng cơ số, hoặc dùng lôgarit hai vế. Phương trình lôgarit chứa ẩn trong biểu thức dưới dấu lôgarit, dạng $log_a f(x) = b$ với a > 0, $a \ne 1$. Điều kiện xác định là biểu thức dưới dấu lôgarit phải dương.

Khi giải bất phương trình mũ và lôgarit, cần nhớ: nếu cơ số a > 1, hàm số đồng biến nên bất đẳng thức giữ nguyên chiều; nếu 0 < a < 1, hàm số nghịch biến nên phải đổi chiều bất đẳng thức. Đây là điểm học sinh hay sai nhất. Sau khi biến đổi, luôn phải kết hợp với điều kiện xác định và đối chiếu nghiệm.

Một số dạng thường gặp: phương trình đưa về cùng cơ số, phương trình đặt ẩn phụ (ví dụ đặt $t = a^x$), phương trình dùng tính đơn điệu. Với bất phương trình, ngoài các cách trên còn có thể xét dấu hoặc dùng đồ thị để minh họa.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình $2^{x+1} = 16$.

Lời giải: Ta có $16 = 2^4$ nên $2^{x+1} = 2^4$. Suy ra $x + 1 = 4$, vậy $x = 3$.

Ví dụ 2. Giải bất phương trình log_2(x - 1) < 3.

Lời giải: Điều kiện xác định: x - 1 > 0, tức x > 1. Vì cơ số 2 > 1 nên log_2(x - 1) < 3 tương đương x - 1 < 2^3 = 8, tức x < 9. Kết hợp điều kiện, tập nghiệm là 1 < x < 9.

3. Ghi nhớ

• Đưa về cùng cơ số hoặc dùng lôgarit để giải phương trình mũ.
• Điều kiện xác định của lôgarit: biểu thức dưới dấu lôgarit phải dương.
• Cơ số a > 1: giữ nguyên chiều bất đẳng thức; 0 < a < 1: đổi chiều bất đẳng thức.
• Luôn đối chiếu nghiệm với điều kiện xác định trước khi kết luận.