Bài 22: Hai đường thẳng vuông góc

1. Kiến thức trọng tâm

Hai đường thẳng trong không gian được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng $90^\circ$. Khác với hình học phẳng, hai đường thẳng vuông góc trong không gian không nhất thiết phải cắt nhau; chúng có thể chéo nhau. Góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ được xác định bằng góc giữa hai đường thẳng $a'$ và $b'$ lần lượt song song với $a$ và $b$, cùng đi qua một điểm $O$ tùy ý.

Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, cách thường dùng là chứng minh tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương bằng $0$. Cụ thể, nếu $\vec{u}$ là vectơ chỉ phương của $a$ và $\vec{v}$ là vectơ chỉ phương của $b$ thì $a \perp b$ khi và chỉ khi $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. Đây là công cụ rất mạnh khi làm việc với hình chóp, hình hộp, hình lăng trụ.

Một kết quả quan trọng: trong tam giác vuông, đường cao, đường trung tuyến có nhiều tính chất liên quan đến tính vuông góc. Ngoài ra, nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó — kết quả này là cầu nối sang bài tiếp theo.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ. Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh $AC \perp B'D'$.

Lời giải: Trong hình lập phương, $AC$ song song với $A'C'$. Mặt khác, $A'C'$ là đường chéo của hình vuông $A'B'C'D'$ nên $A'C' \perp B'D'$. Vì $AC \parallel A'C'$ nên góc giữa $AC$ và $B'D'$ bằng góc giữa $A'C'$ và $B'D'$, tức bằng $90^\circ$. Vậy $AC \perp B'D'$.

3. Ghi nhớ

• Hai đường thẳng vuông góc trong không gian có thể chéo nhau, không cần cắt nhau.
• Góc giữa hai đường thẳng được tính qua hai đường thẳng song song cùng đi qua một điểm.
• Dùng tích vô hướng: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ thì hai đường thẳng vuông góc.
• Trong hình lập phương, hình hộp chữ nhật, nhiều cặp đường thẳng vuông góc có sẵn từ tính chất hình.