Bài 23: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

1. Kiến thức trọng tâm

Đường thẳng $d$ được gọi là vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nếu $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$. Kí hiệu $d \perp (P)$. Điều kiện để chứng minh $d \perp (P)$ là chỉ cần chứng minh $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $(P)$. Đây là định lí quan trọng nhất của bài.

Nếu $d \perp (P)$ thì $d$ vuông góc với mọi đường thẳng trong $(P)$, và mọi mặt phẳng chứa $d$ đều vuông góc với $(P)$. Giao điểm của $d$ với $(P)$ gọi là hình chiếu vuông góc của một điểm trên $d$ xuống mặt phẳng. Từ một điểm ngoài mặt phẳng, chỉ kẻ được duy nhất một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đó.

Định lí ba đường vuông góc: cho $d \perp (P)$ tại $O$, $a$ là đường thẳng trong $(P)$. Nếu $a \perp OH$ với $H$ là hình chiếu của một điểm trên $d$ xuống $(P)$ thì $a$ cũng vuông góc với đường xiên. Định lí này giúp chứng minh nhiều quan hệ vuông góc trong hình chóp và hình lăng trụ.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $SA \perp (ABCD)$. Chứng minh $SA \perp BD$.

Lời giải: Vì $SA \perp (ABCD)$ và $BD$ nằm trong $(ABCD)$ nên theo định nghĩa, $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng đáy, trong đó có $BD$. Vậy $SA \perp BD$.

Ví dụ. Với hình chóp trên, chứng minh $BD \perp (SAC)$.

Lời giải: Ta có $BD \perp AC$ (hai đường chéo hình vuông) và $BD \perp SA$ (chứng minh trên). Vì $AC$ và $SA$ cắt nhau trong $(SAC)$ nên $BD \perp (SAC)$.

3. Ghi nhớ

• Muốn chứng minh $d \perp (P)$: chứng minh $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong $(P)$.
• Nếu $d \perp (P)$ thì $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$.
• Nhớ vận dụng định lí ba đường vuông góc trong các bài chứng minh.
• Từ một điểm ngoài mặt phẳng, có duy nhất một đường vuông góc với mặt phẳng.