Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

1. Kiến thức trọng tâm

Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng $(P)$ biến mỗi điểm $M$ thành điểm $M'$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $(P)$, tức $MM' \perp (P)$. Hình chiếu vuông góc của một đường thẳng $d$ không vuông góc với $(P)$ là một đường thẳng $d'$ nằm trong $(P)$. Nếu $d$ vuông góc với $(P)$ thì hình chiếu của nó là một điểm.

Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ được định nghĩa như sau: nếu $d \perp (P)$ thì góc bằng $90^\circ$; nếu $d$ song song hoặc nằm trong $(P)$ thì góc bằng $0^\circ$; nếu $d$ cắt $(P)$ tại $O$ thì góc giữa $d$ và $(P)$ là góc giữa $d$ và hình chiếu vuông góc $d'$ của nó trên $(P)$. Góc này luôn nằm trong khoảng từ $0^\circ$ đến $90^\circ$.

Để tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta thường lấy một điểm $A$ trên $d$, xác định hình chiếu $H$ của $A$ trên $(P)$, rồi xét tam giác vuông $AHO$ với $O$ là giao điểm của $d$ và $(P)$. Góc cần tìm là góc $\widehat{AOH}$. Việc xác định đúng hình chiếu là bước quan trọng nhất.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Tính góc giữa $SB$ và $(ABC)$.

Lời giải: Vì $SA \perp (ABC)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ trên $(ABC)$. Hình chiếu của đường thẳng $SB$ trên $(ABC)$ là $AB$. Do đó góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là góc $\widehat{SBA}$. Trong tam giác vuông $SAB$ vuông tại $A$, ta có $\tan \widehat{SBA} = \frac{SA}{AB}$. Biết $SA$ và $AB$ sẽ tính được góc.

Ví dụ. Nếu $SA = AB$ thì $\tan \widehat{SBA} = 1$, suy ra góc giữa $SB$ và $(ABC)$ bằng $45^\circ$.

3. Ghi nhớ

• Hình chiếu vuông góc của đường thẳng là đường thẳng, trừ khi đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì hình chiếu là một điểm.
• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó.
• Góc này luôn từ $0^\circ$ đến $90^\circ$.
• Muốn tính góc: xác định hình chiếu, dựng tam giác vuông, dùng tỉ số lượng giác.