Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc

1. Kiến thức trọng tâm

Hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng $90^\circ$. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với giao tuyến của chúng, cùng nằm trong mỗi mặt phẳng và cùng đi qua một điểm trên giao tuyến. Kí hiệu $(P) \perp (Q)$.

Điều kiện để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: nếu trong $(P)$ có một đường thẳng vuông góc với $(Q)$ thì $(P) \perp (Q)$. Đây là cách chứng minh được dùng nhiều nhất. Ngoài ra, nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy; các mặt bên của nó là hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy. Hình hộp chữ nhật và hình lập phương là những trường hợp đặc biệt quen thuộc. Trong hình chóp đều, mặt phẳng chứa đường cao và một cạnh đáy thường vuông góc với mặt phẳng đáy, giúp xác định góc và khoảng cách dễ dàng hơn.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $SA \perp (ABCD)$. Chứng minh $(SAC) \perp (ABCD)$ và $(SBD) \perp (SAC)$.

Lời giải: Vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA$ nằm trong $(SAC)$ nên $(SAC) \perp (ABCD)$. Mặt khác, $BD \perp AC$ (hai đường chéo hình vuông) và $BD \perp SA$ nên $BD \perp (SAC)$. Vì $BD$ nằm trong $(SBD)$ nên $(SBD) \perp (SAC)$.

Ví dụ. Trong hình lập phương, mặt phẳng chứa một đường chéo của mặt đáy và cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

3. Ghi nhớ

• Chứng minh $(P) \perp (Q)$: tìm trong $(P)$ một đường thẳng vuông góc với $(Q)$.
• Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến.
• Hình lăng trụ đứng có các mặt bên vuông góc với mặt đáy.
• Trong hình chóp có đường cao vuông góc với đáy, nhiều mặt phẳng vuông góc xuất hiện tự nhiên.