Bài 26: Khoảng cách

1. Kiến thức trọng tâm

Khoảng cách từ một điểm $M$ đến mặt phẳng $(P)$ là độ dài đoạn vuông góc $MH$ với $H$ là hình chiếu của $M$ trên $(P)$. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là độ dài đoạn vuông góc từ điểm đó đến đường thẳng. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của chúng — đoạn thẳng vừa vuông góc với cả hai đường thẳng và nối một điểm trên đường này với một điểm trên đường kia.

Khoảng cách giữa đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $(P)$ và $(P)$ bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên $d$ đến $(P)$. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm trên đường này đến đường kia.

Để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, ta thường dựng đường vuông góc, hoặc dùng thể tích: $d = \frac{3V}{S_{\text{đáy}}}$ với $V$ là thể tích hình chóp có đỉnh là điểm đó và đáy là mặt phẳng cần tính. Cách dùng thể tích rất hiệu quả khi việc dựng đường vuông góc khó khăn.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, $SA = 4$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$ với $AB = 3$, $BC = 5$. Tính khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$.

Lời giải: Kẻ $AH \perp SB$ với $H$ thuộc $SB$. Vì $BC \perp AB$ và $BC \perp SA$ nên $BC \perp (SAB)$, suy ra $BC \perp AH$. Do đó $AH \perp (SBC)$ và khoảng cách cần tìm là $AH$. Trong tam giác vuông $SAB$: $\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AB^2} = \frac{1}{16} + \frac{1}{9} = \frac{25}{144}$. Suy ra $AH = \frac{12}{5} = 2,4$.

3. Ghi nhớ

• Khoảng cách luôn là độ dài đoạn vuông góc ngắn nhất.
• Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: dựng đường vuông góc hoặc dùng công thức thể tích $d = \frac{3V}{S}$.
• Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau: độ dài đoạn vuông góc chung.
• Đưa bài toán khoảng cách về một điểm đến một mặt phẳng quen thuộc.