Bài tập — Bài 26: Khoảng cách

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

Câu 1. Nội dung nào sau đây phản ánh đúng kiến thức cần ghi nhớ trong bài Bài 26: Khoảng cách? A. Bỏ qua các khái niệm cơ bản và chỉ học thuộc lòng kết quả cuối cùng mà không cần hiểu bản chất. B. Chỉ áp dụng kiến thức trong một trường hợp duy nhất, không cần kiểm tra điều kiện hay đơn vị. C. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác. D. Khoảng cách luôn là độ dài đoạn vuông góc ngắn nhất.

Câu 2. Khi học và vận dụng bài Bài 26: Khoảng cách, khẳng định nào dưới đây là chính xác? A. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: dựng đường vuông góc hoặc dùng công thức thể tích $d = \frac{3V}{S}$ . B. Không cần đọc kĩ đề bài hay phân tích dữ kiện trước khi thực hiện các bước giải. C. Mọi khái niệm trong bài đều có thể thay thế tùy ý cho nhau mà không làm thay đổi kết quả. D. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại.

Câu 3. Theo phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 26: Khoảng cách, phát biểu nào sau đây là đúng? A. Kết luận ngay kết quả khi chưa đối chiếu với quy tắc hoặc định nghĩa trong bài học. B. Khoảng cách từ một điểm $M$ đến mặt phẳng $(P)$ là độ dài đoạn vuông góc $MH$ với $H$ là hình chiếu của $M$ trên $(P)$ . C. Thay đổi toàn bộ quy tắc trọng tâm của bài học theo cảm tính cá nhân. D. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học.

Câu 4. Để nắm vững và vận dụng tốt bài Bài 26: Khoảng cách, học sinh cần lưu ý điều nào sau đây? A. Không cần ghi nhớ các lưu ý trọng tâm vì chúng không ảnh hưởng đến việc làm bài tập. B. Áp dụng ngược lại hoàn toàn so với quy tắc và hướng dẫn trong phần kiến thức trọng tâm. C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của chúng — đoạn thẳng vừa vuông góc với cả hai đường thẳng và nối một điểm trên đường này với một điểm trên đường kia. D. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Bài 1 (Cơ bản — Hệ thống hóa kiến thức trọng tâm). Dựa vào phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 26: Khoảng cách, em hãy trình bày các khái niệm, quy tắc hoặc nội dung cốt lõi của tiết học và nêu ý nghĩa của chúng.

Bài 2 (Thực hành — Phân tích & Giải mẫu theo ví dụ tiết học). Đọc kĩ tình huống/ví dụ trọng tâm của tiết học dưới đây, sau đó tự trình bày lại các bước thực hiện và nêu nhận xét rút ra:

Ví dụ 1. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$ , $SA = 4$ , tam giác $ABC$ vuông tại $B$ với $AB = 3$ , $BC = 5$ . Tính khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ .

Bài 3 (Vận dụng — Áp dụng quy tắc ghi nhớ vào bài tập). Vận dụng các điểm ghi nhớ trọng tâm của bài Bài 26: Khoảng cách để giải thích hoặc thực hiện yêu cầu thực hành mở rộng sau:

Lời giải: Kẻ $AH \perp SB$ với $H$ thuộc $SB$ . Vì $BC \perp AB$ và $BC \perp SA$ nên $BC \perp (SAB)$ , suy ra $BC \perp AH$ . Do đó $AH \perp (SBC)$ và khoảng cách cần tìm là $AH$ . Trong tam giác vuông $SAB$ : $\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AB^2} = \frac{1}{16} + \frac{1}{9} = \frac{25}{144}$ . Suy ra $AH = \frac{12}{5} = 2,4$ .

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Tính $\lim \left(\sqrt{n^2+2n} - n\right)$ .

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Hàm số $f(x) = 2x - 1$ có liên tục tại $x = 3$ không? Vì sao?

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Xét tính liên tục của hàm số $f(x) = x^2 + 1$ tại $x = 0$ .

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-D, 2-A, 3-B, 4-C.
Giải thích chi tiết:
- Câu 1 (D): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Khoảng cách luôn là độ dài đoạn vuông góc ngắn nhất."
- Câu 2 (A): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: dựng đường vuông góc hoặc dùng công thức thể tích $d = \frac{3V}{S}$ ."
- Câu 3 (B): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Khoảng cách từ một điểm $M$ đến mặt phẳng $(P)$ là độ dài đoạn vuông góc $MH$ với $H$ là hình chiếu của $M$ trên $(P)$ ."
- Câu 4 (C): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của chúng — đoạn thẳng vừa vuông góc với cả hai đường thẳng và nối một điểm trên đường này với một điểm trên đường kia."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:
- Nội dung cốt lõi cần trình bày: Khoảng cách từ một điểm $M$ đến mặt phẳng $(P)$ là độ dài đoạn vuông góc $MH$ với $H$ là hình chiếu của $M$ trên $(P)$ . Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là độ dài đoạn vuông góc từ điểm đó đến đường thẳng.
- Tổng kết ghi nhớ: Khoảng cách luôn là độ dài đoạn vuông góc ngắn nhất.; Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: dựng đường vuông góc hoặc dùng công thức thể tích $d = \frac{3V}{S}$ .; Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau: độ dài đoạn vuông góc chung.
Bài 2:
- Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Ví dụ 1. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$ , $SA = 4$ , tam giác $ABC$ vuông tại $B$ với $AB = 3$ , $BC = 5$ . Tính khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ .
- Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.
Bài 3:
- Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 26: Khoảng cách (Khoảng cách luôn là độ dài đoạn vuông góc ngắn nhất.; Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: dựng đường vuông góc hoặc dùng công thức thể tích $d = \frac{3V}{S}$ .; Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau: độ dài đoạn vuông góc chung.).
- Lời giải mẫu/Nhận xét: Lời giải: Kẻ $AH \perp SB$ với $H$ thuộc $SB$ . Vì $BC \perp AB$ và $BC \perp SA$ nên $BC \perp (SAB)$ , suy ra $BC \perp AH$ . Do đó $AH \perp (SBC)$ và khoảng cách cần tìm là $AH$ . Trong tam giác vuông $SAB$ : $\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AB^2} = \frac{1}{16} + \frac{1}{9} = \frac{25}{144}$ . Suy ra $AH = \frac{12}{5} = 2,4$ .
Bài 4: $1$ (nhân liên hợp: $\dfrac{2n}{\sqrt{n^2+2n}+n}$ )
Bài 5: Có, vì $f(3) = 5$ và $\lim_{x \to 3} f(x) = 5$
Bài 6: Liên tục, vì $f(0) = 1$ và $\lim_{x \to 0} f(x) = 1$

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

d = \frac{3V}{S}

. B. Không cần đọc kĩ đề bài hay phân tích dữ kiện trước khi thực hiện các bước giải. C. Mọi khái niệm trong bài đều có thể thay thế tùy ý cho nhau mà không làm thay đổi kết quả. D. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại.

M

đến mặt phẳng

(P)

là độ dài đoạn vuông góc

MH

với

H

là hình chiếu của

M

trên

(P)

. C. Thay đổi toàn bộ quy tắc trọng tâm của bài học theo cảm tính cá nhân. D. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Ví dụ 1. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$ , $SA = 4$ , tam giác $ABC$ vuông tại $B$ với $AB = 3$ , $BC = 5$ . Tính khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ .

Lời giải: Kẻ $AH \perp SB$ với $H$ thuộc $SB$ . Vì $BC \perp AB$ và $BC \perp SA$ nên $BC \perp (SAB)$ , suy ra $BC \perp AH$ . Do đó $AH \perp (SBC)$ và khoảng cách cần tìm là $AH$ . Trong tam giác vuông $SAB$ : $\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AB^2} = \frac{1}{16} + \frac{1}{9} = \frac{25}{144}$ . Suy ra $AH = \frac{12}{5} = 2,4$ .

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Tính

\lim \left(\sqrt{n^2+2n} - n\right)

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Hàm số

f(x) = 2x - 1

có liên tục tại

x = 3

không? Vì sao?

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Xét tính liên tục của hàm số

f(x) = x^2 + 1

tại

x = 0

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-D, 2-A, 3-B, 4-C.

Giải thích chi tiết:

Câu 1 (D): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Khoảng cách luôn là độ dài đoạn vuông góc ngắn nhất."
Câu 2 (A): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: dựng đường vuông góc hoặc dùng công thức thể tích $d = \frac{3V}{S}$ ."
Câu 3 (B): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Khoảng cách từ một điểm $M$ đến mặt phẳng $(P)$ là độ dài đoạn vuông góc $MH$ với $H$ là hình chiếu của $M$ trên $(P)$ ."
Câu 4 (C): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của chúng — đoạn thẳng vừa vuông góc với cả hai đường thẳng và nối một điểm trên đường này với một điểm trên đường kia."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:

Nội dung cốt lõi cần trình bày: Khoảng cách từ một điểm $M$ đến mặt phẳng $(P)$ là độ dài đoạn vuông góc $MH$ với $H$ là hình chiếu của $M$ trên $(P)$ . Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là độ dài đoạn vuông góc từ điểm đó đến đường thẳng.
Tổng kết ghi nhớ: Khoảng cách luôn là độ dài đoạn vuông góc ngắn nhất.; Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: dựng đường vuông góc hoặc dùng công thức thể tích $d = \frac{3V}{S}$ .; Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau: độ dài đoạn vuông góc chung.

Bài 2:

Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Ví dụ 1. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$ , $SA = 4$ , tam giác $ABC$ vuông tại $B$ với $AB = 3$ , $BC = 5$ . Tính khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ .
Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.

Bài 3:

Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 26: Khoảng cách (Khoảng cách luôn là độ dài đoạn vuông góc ngắn nhất.; Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: dựng đường vuông góc hoặc dùng công thức thể tích $d = \frac{3V}{S}$ .; Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau: độ dài đoạn vuông góc chung.).
Lời giải mẫu/Nhận xét: Lời giải: Kẻ $AH \perp SB$ với $H$ thuộc $SB$ . Vì $BC \perp AB$ và $BC \perp SA$ nên $BC \perp (SAB)$ , suy ra $BC \perp AH$ . Do đó $AH \perp (SBC)$ và khoảng cách cần tìm là $AH$ . Trong tam giác vuông $SAB$ : $\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AB^2} = \frac{1}{16} + \frac{1}{9} = \frac{25}{144}$ . Suy ra $AH = \frac{12}{5} = 2,4$ .

Bài 4:

1

(nhân liên hợp:

\dfrac{2n}{\sqrt{n^2+2n}+n}

)

Bài 5: Có, vì

f(3) = 5

và

\lim_{x \to 3} f(x) = 5

Bài 6: Liên tục, vì

f(0) = 1

và

\lim_{x \to 0} f(x) = 1