Bài tập — Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

Câu 1. Nội dung nào sau đây phản ánh đúng kiến thức cần ghi nhớ trong bài Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản? A. Bỏ qua các khái niệm cơ bản và chỉ học thuộc lòng kết quả cuối cùng mà không cần hiểu bản chất. B. Chỉ áp dụng kiến thức trong một trường hợp duy nhất, không cần kiểm tra điều kiện hay đơn vị. C. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác. D. Luôn kiểm tra điều kiện $|a| \le 1$ trước khi giải phương trình $\sin x = a$ và $\cos x = a$.

Câu 2. Khi học và vận dụng bài Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản, khẳng định nào dưới đây là chính xác? A. Nhớ thêm $k2\pi$ (với $\sin$, $\cos$) và $k\pi$ (với $\tan$, $\cot$) vào nghiệm. B. Không cần đọc kĩ đề bài hay phân tích dữ kiện trước khi thực hiện các bước giải. C. Mọi khái niệm trong bài đều có thể thay thế tùy ý cho nhau mà không làm thay đổi kết quả. D. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại.

Câu 3. Theo phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản, phát biểu nào sau đây là đúng? A. Kết luận ngay kết quả khi chưa đối chiếu với quy tắc hoặc định nghĩa trong bài học. B. Phương trình $\sin x = a$ có nghiệm khi $|a| \le 1$. C. Thay đổi toàn bộ quy tắc trọng tâm của bài học theo cảm tính cá nhân. D. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học.

Câu 4. Để nắm vững và vận dụng tốt bài Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản, học sinh cần lưu ý điều nào sau đây? A. Không cần ghi nhớ các lưu ý trọng tâm vì chúng không ảnh hưởng đến việc làm bài tập. B. Áp dụng ngược lại hoàn toàn so với quy tắc và hướng dẫn trong phần kiến thức trọng tâm. C. Phương trình $\cos x = a$ có nghiệm khi $|a| \le 1$. D. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Bài 1 (Cơ bản — Hệ thống hóa kiến thức trọng tâm). Dựa vào phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản, em hãy trình bày các khái niệm, quy tắc hoặc nội dung cốt lõi của tiết học và nêu ý nghĩa của chúng.

Bài 2 (Thực hành — Phân tích & Giải mẫu theo ví dụ tiết học). Đọc kĩ tình huống/ví dụ trọng tâm của tiết học dưới đây, sau đó tự trình bày lại các bước thực hiện và nêu nhận xét rút ra:

Ví dụ. Giải phương trình $\sin x = \frac{1}{2}$.

Bài 3 (Vận dụng — Áp dụng quy tắc ghi nhớ vào bài tập). Vận dụng các điểm ghi nhớ trọng tâm của bài Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản để giải thích hoặc thực hiện yêu cầu thực hành mở rộng sau:

Lời giải. Vì $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ nên nghiệm là $x = \frac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = \pi - \frac{\pi}{6} + k2\pi = \frac{5\pi}{6} + k2\pi$ với $k \in \mathbb{Z}$.

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Cho $\sin x + \cos x = \dfrac{1}{2}$. Tính $\sin x \cos x$.

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Giải phương trình $\cos^2 x - 3\sin^2 x = 0$.

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Tìm tập xác định của hàm số $y = \dfrac{1}{\cos x - 1}$.

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

• Bảng đáp án: 1-D, 2-A, 3-B, 4-C.
• Giải thích chi tiết:
  • Câu 1 (D): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Luôn kiểm tra điều kiện $|a| \le 1$ trước khi giải phương trình $\sin x = a$ và $\cos x = a$."
  • Câu 2 (A): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Nhớ thêm $k2\pi$ (với $\sin$, $\cos$) và $k\pi$ (với $\tan$, $\cot$) vào nghiệm."
  • Câu 3 (B): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Phương trình $\sin x = a$ có nghiệm khi $|a| \le 1$."
  • Câu 4 (C): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Phương trình $\cos x = a$ có nghiệm khi $|a| \le 1$."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

• Bài 1:
  • Nội dung cốt lõi cần trình bày: Phương trình $\sin x = a$ có nghiệm khi $|a| \le 1$. Đặt $\alpha$ là một số thỏa mãn $\sin\alpha = a$, nghiệm của phương trình là $x = \alpha + k2\pi$ hoặc $x = \pi - \alpha + k2\pi$ với $k \in \mathbb{Z}$.
  • Tổng kết ghi nhớ: Luôn kiểm tra điều kiện $|a| \le 1$ trước khi giải phương trình $\sin x = a$ và $\cos x = a$.; Nhớ thêm $k2\pi$ (với $\sin$, $\cos$) và $k\pi$ (với $\tan$, $\cot$) vào nghiệm.; Khi tìm nghiệm trên một khoảng, liệt kê các giá trị của $k$ rồi loại bỏ nghiệm ngoài khoảng.
• Bài 2:
  • Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Ví dụ. Giải phương trình $\sin x = \frac{1}{2}$.
  • Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.
• Bài 3:
  • Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản (Luôn kiểm tra điều kiện $|a| \le 1$ trước khi giải phương trình $\sin x = a$ và $\cos x = a$.; Nhớ thêm $k2\pi$ (với $\sin$, $\cos$) và $k\pi$ (với $\tan$, $\cot$) vào nghiệm.; Khi tìm nghiệm trên một khoảng, liệt kê các giá trị của $k$ rồi loại bỏ nghiệm ngoài khoảng.).
  • Lời giải mẫu/Nhận xét: Lời giải. Vì $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ nên nghiệm là $x = \frac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = \pi - \frac{\pi}{6} + k2\pi = \frac{5\pi}{6} + k2\pi$ với $k \in \mathbb{Z}$.
• Bài 4: $(\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2\sin x \cos x = \dfrac{1}{4}$, suy ra $\sin x \cos x = -\dfrac{3}{8}$.
• Bài 5: $\tan^2 x = \dfrac{1}{3}$, suy ra $\tan x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}$, vậy $x = \pm \dfrac{\pi}{6} + k\pi$.
• Bài 6: $\cos x \ne 1$, vậy $x \ne k2\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$.