Bài 5: Dãy số

1. Kiến thức trọng tâm

Dãy số là một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương $\mathbb{N}^*$. Mỗi giá trị $u_n$ được gọi là số hạng thứ $n$ của dãy số $(u_n)$. Dãy số có thể cho bằng công thức số hạng tổng quát $u_n = f(n)$, bằng công thức truy hồi, hoặc bằng mô tả trực tiếp.

Dãy số $(u_n)$ được gọi là tăng nếu u_{n+1} > u_n với mọi $n$; giảm nếu u_{n+1} < u_n với mọi $n$; không đổi nếu $u_{n+1} = u_n$ với mọi $n$.

Dãy số $(u_n)$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số $M$ sao cho $u_n \le M$ với mọi $n$; bị chặn dưới nếu tồn tại số $m$ sao cho $u_n \ge m$ với mọi $n$; bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.

Để xét tính đơn điệu của dãy số, ta thường xét hiệu $u_{n+1} - u_n$. Nếu u_{n+1} - u_n > 0 thì dãy tăng; nếu u_{n+1} - u_n < 0 thì dãy giảm.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ. Cho dãy số $u_n = 2n - 1$. Viết năm số hạng đầu và xét tính đơn điệu.

Lời giải. Năm số hạng đầu là $u_1 = 1$, $u_2 = 3$, $u_3 = 5$, $u_4 = 7$, $u_5 = 9$. Ta có u_{n+1} - u_n = [2(n+1) - 1] - (2n - 1) = 2 > 0 nên dãy tăng.

Ví dụ. Cho dãy số xác định bởi $u_1 = 1$ và $u_{n+1} = u_n + 3$. Tìm $u_4$.

Lời giải. Ta có $u_2 = u_1 + 3 = 4$, $u_3 = u_2 + 3 = 7$, $u_4 = u_3 + 3 = 10$.

3. Ghi nhớ

• Phân biệt dãy số hữu hạn (chỉ có một số số hạng) và dãy số vô hạn.
• Công thức truy hồi cho biết cách tính số hạng sau từ số hạng trước, cần biết số hạng đầu.
• Để chứng minh dãy bị chặn, tìm $m$ và $M$ sao cho $m \le u_n \le M$ với mọi $n$.
• Dãy tăng và bị chặn trên có thể hội tụ, nhưng nội dung này sẽ học kĩ ở bài giới hạn.