Bài tập cuối Chương 5

1. Kiến thức trọng tâm

Chương 5 nghiên cứu giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục. Giới hạn của dãy số: dãy $(u_n)$ có giới hạn là $0$ nếu $|u_n|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu $\lim u_n = 0$. Các giới hạn cơ bản: $\lim \frac{1}{n} = 0$, $\lim \frac{1}{n^k} = 0$ với $k$ nguyên dương, $\lim q^n = 0$ khi |q| < 1. Nếu $\lim u_n = a$ và $\lim v_n = b$ thì $\lim (u_n + v_n) = a + b$, $\lim (u_n \cdot v_n) = ab$, $\lim \frac{u_n}{v_n} = \frac{a}{b}$ khi $b \ne 0$.

Giới hạn của hàm số: $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ nghĩa là khi $x$ dần tới $x_0$ thì $f(x)$ dần tới $L$. Khi gặp dạng vô định $\frac{0}{0}$, cần phân tích thành nhân tử, nhân liên hợp hoặc rút gọn rồi mới thay số.

Hàm số $f$ liên tục tại $x_0$ nếu $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Hàm số liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính $\lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{n + 3}$.

Lời giải: Chia cả tử và mẫu cho $n$: $\lim \frac{2 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{3}{n}} = \frac{2 + 0}{1 + 0} = 2$.

Ví dụ 2: Tính $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$.

Lời giải: Với $x \ne 2$, $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2$, suy ra giới hạn bằng $2 + 2 = 4$.

Ví dụ 3: Xét tính liên tục của $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ tại $x = 1$ nếu $f(1) = 2$.

Lời giải: $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 = f(1)$ nên $f$ liên tục tại $x = 1$.

3. Ghi nhớ

• Dạng vô định $\frac{0}{0}$ không thể thay số trực tiếp, phải biến đổi trước.
• Muốn xét liên tục tại $x_0$, cần so sánh giới hạn hai phía với $f(x_0)$.
• Nhớ các giới hạn cơ bản của dãy số để tính nhanh giới hạn của phân thức.