Bài 6: Cấp số cộng

1. Kiến thức trọng tâm

Cấp số cộng là dãy số $(u_n)$ trong đó, kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi $d$, gọi là công sai. Công thức truy hồi: $u_{n+1} = u_n + d$ với mọi $n \ge 1$.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng: $u_n = u_1 + (n - 1)d$. Công thức này cho phép tính trực tiếp số hạng thứ $n$ khi biết $u_1$ và $d$.

Tính chất của các số hạng: với $n \ge 2$, ta có $u_n = \frac{u_{n-1} + u_{n+1}}{2}$, tức mỗi số hạng (trừ số hạng đầu) là trung bình cộng của hai số hạng kề nó.

Tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng: $S_n = u_1 + u_2 + \cdots + u_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2} = \frac{n[2u_1 + (n - 1)d]}{2}$.

Để nhận biết một dãy số có phải cấp số cộng hay không, ta kiểm tra hiệu $u_{n+1} - u_n$ có phải là hằng số hay không.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ. Cho cấp số cộng có $u_1 = 3$ và $d = 5$. Tìm $u_{10}$ và $S_{10}$.

Lời giải. Ta có $u_{10} = u_1 + 9d = 3 + 9 \cdot 5 = 48$. Tổng $S_{10} = \frac{10(3 + 48)}{2} = 255$.

Ví dụ. Ba số $x$, $8$, $y$ lập thành cấp số cộng và $x + y = 16$. Kiểm tra tính chất trung bình cộng.

Lời giải. Vì $x$, $8$, $y$ lập thành cấp số cộng nên $8 = \frac{x + y}{2} = \frac{16}{2} = 8$, thỏa mãn.

3. Ghi nhớ

• Muốn tìm $d$, tính $d = u_{n+1} - u_n$ với bất kì $n$ nào.
• Công thức $u_n = u_1 + (n - 1)d$ dùng để tìm số hạng thứ $n$ hoặc tìm $n$ khi biết $u_n$.
• Công thức tổng $S_n$ có hai dạng, chọn dạng phù hợp với dữ kiện đã cho.
• Trong bài toán thực tế, hãy xác định rõ $u_1$, $d$ và $n$ trước khi áp dụng công thức.