Bài tập cuối chương 6

1. Kiến thức trọng tâm

Chương 6 nghiên cứu hàm số mũ và hàm số lôgarit. Lũy thừa với số mũ thực: với a > 0 và $r$ là số thực, $a^r$ được định nghĩa thông qua giới hạn của dãy $a^{r_n}$ với $r_n$ là dãy số hữu tỉ dần tới $r$. Các tính chất quen thuộc vẫn đúng: $a^{r} \cdot a^{s} = a^{r+s}$, $(a^r)^s = a^{rs}$, $(ab)^r = a^r b^r$.

Lôgarit: với a > 0, $a \ne 1$, b > 0, $\log_a b$ là số $\alpha$ sao cho $a^\alpha = b$. Các tính chất: $\log_a 1 = 0$, $\log_a a = 1$, $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$, $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$, $\log_a x^r = r\log_a x$, công thức đổi cơ số $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$.

Phương trình mũ đưa về cùng cơ số hoặc đặt ẩn phụ; phương trình lôgarit cần đặt điều kiện cho biểu thức trong lôgarit dương rồi đưa về cùng cơ số. Bất phương trình mũ và lôgarit chú ý chiều biến thiên theo cơ số lớn hơn hay nhỏ hơn $1$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình $2^{x+1} = 16$.

Lời giải: $16 = 2^4$ nên $x + 1 = 4$, suy ra $x = 3$.

Ví dụ 2: Giải phương trình $\log_2 (x - 1) = 3$.

Lời giải: Điều kiện x - 1 > 0, tức x > 1. Phương trình tương đương $x - 1 = 2^3 = 8$, suy ra $x = 9$ (thỏa mãn điều kiện).

Ví dụ 3: Tính $\log_2 8 + \log_2 \frac{1}{4}$.

Lời giải: $\log_2 8 = 3$, $\log_2 \frac{1}{4} = -2$, tổng bằng $1$.

3. Ghi nhớ

• Giải phương trình lôgarit phải đặt điều kiện biểu thức trong lôgarit lớn hơn $0$.
• Khi cơ số 0 < a < 1, bất phương trình mũ và lôgarit đổi chiều bất đẳng thức.
• Nhớ công thức đổi cơ số để đưa các lôgarit khác cơ số về cùng một cơ số.