Bài 7: Cấp số nhân

1. Kiến thức trọng tâm

Cấp số nhân là dãy số $(u_n)$ trong đó, kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi $q$, gọi là công bội. Công thức truy hồi: $u_{n+1} = u_n \cdot q$ với mọi $n \ge 1$.

Số hạng tổng quát của cấp số nhân: $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$. Công thức này cho phép tính trực tiếp số hạng thứ $n$ khi biết $u_1$ và $q$.

Tính chất của các số hạng: với $n \ge 2$, ta có $u_n^2 = u_{n-1} \cdot u_{n+1}$, tức bình phương mỗi số hạng (trừ số hạng đầu) bằng tích của hai số hạng kề nó.

Tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân:

• Nếu $q = 1$: $S_n = n \cdot u_1$.
• Nếu $q \ne 1$: $S_n = u_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} = u_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$.

Nếu |q| < 1 thì cấp số nhân lùi vô hạn có tổng $S = \frac{u_1}{1 - q}$, một kết quả quan trọng dùng trong bài toán giới hạn.

Để nhận biết một dãy số có phải cấp số nhân hay không, ta kiểm tra tỉ số $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (với $u_n \ne 0$) có phải là hằng số hay không.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ. Cho cấp số nhân có $u_1 = 2$ và $q = 3$. Tìm $u_5$ và $S_5$.

Lời giải. Ta có $u_5 = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162$. Tổng $S_5 = 2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{242}{2} = 242$.

Ví dụ. Tính tổng $S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$ (vô hạn số hạng).

Lời giải. Đây là cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1 = 1$, $q = \frac{1}{2}$, nên $S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$.

3. Ghi nhớ

• Muốn tìm $q$, tính $q = \frac{u_{n+1}}{u_n}$ với bất kì $n$ nào mà $u_n \ne 0$.
• Công thức $u_n = u_1 q^{n-1}$ dùng để tìm số hạng thứ $n$ hoặc tìm $n$ khi biết $u_n$.
• Khi $q = 1$, cấp số nhân là dãy không đổi; công thức tổng $S_n$ phải dùng dạng riêng.