Bài tập cuối chương 7

1. Kiến thức trọng tâm

Chương 7 nghiên cứu quan hệ vuông góc trong không gian. Hai đường thẳng vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng $90^\circ$. Đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nếu $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$. Điều kiện đủ: nếu $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $(P)$ thì $d$ vuông góc với $(P)$.

Định lí ba đường vuông góc: $b$ nằm trong $(P)$ vuông góc với $a$ khi và chỉ khi $b$ vuông góc với hình chiếu vuông góc của $a$ trên $(P)$.

Phép chiếu vuông góc của một điểm lên mặt phẳng là hình chiếu theo phương vuông góc với mặt phẳng đó. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng.

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng $90^\circ$. Điều kiện: nếu mặt phẳng $(P)$ chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(Q)$ thì $(P)$ vuông góc với $(Q)$. Thể tích khối chóp: $V = \frac{1}{3} S \cdot h$, trong đó $S$ là diện tích đáy và $h$ là chiều cao.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Chứng minh $BD$ vuông góc với mặt phẳng $(SAC)$.

Lời giải: $BD$ vuông góc với $AC$ (hai đường chéo hình vuông) và $BD$ vuông góc với $SA$ (vì $SA$ vuông góc với đáy). Vì $AC$ và $SA$ cắt nhau trong mặt phẳng $(SAC)$ nên $BD$ vuông góc với $(SAC)$.

Ví dụ 2: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với đáy, tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $SA = 3$, $AB = 4$, $BC = 5$. Tính thể tích khối chóp.

Lời giải: Diện tích đáy $S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 = 10$. Thể tích $V = \frac{1}{3} \cdot 10 \cdot 3 = 10$.

3. Ghi nhớ

• Muốn chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, tìm hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng cùng vuông góc với nó.
• Định lí ba đường vuông góc là công cụ mạnh để chứng minh vuông góc.
• Thể tích khối chóp bằng một phần ba diện tích đáy nhân chiều cao.