Bài tập — Bài 7: Cấp số nhân

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

Câu 1. Nội dung nào sau đây phản ánh đúng kiến thức cần ghi nhớ trong bài Bài 7: Cấp số nhân? A. Bỏ qua các khái niệm cơ bản và chỉ học thuộc lòng kết quả cuối cùng mà không cần hiểu bản chất. B. Muốn tìm $q$ , tính $q = \frac{u_{n+1}}{u_n}$ với bất kì $n$ nào mà $u_n \ne 0$ . C. Chỉ áp dụng kiến thức trong một trường hợp duy nhất, không cần kiểm tra điều kiện hay đơn vị. D. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác.

Câu 2. Khi học và vận dụng bài Bài 7: Cấp số nhân, khẳng định nào dưới đây là chính xác? A. Không cần đọc kĩ đề bài hay phân tích dữ kiện trước khi thực hiện các bước giải. B. Mọi khái niệm trong bài đều có thể thay thế tùy ý cho nhau mà không làm thay đổi kết quả. C. Công thức $u_n = u_1 q^{n-1}$ dùng để tìm số hạng thứ $n$ hoặc tìm $n$ khi biết $u_n$ . D. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại.

Câu 3. Theo phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 7: Cấp số nhân, phát biểu nào sau đây là đúng? A. Kết luận ngay kết quả khi chưa đối chiếu với quy tắc hoặc định nghĩa trong bài học. B. Thay đổi toàn bộ quy tắc trọng tâm của bài học theo cảm tính cá nhân. C. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học. D. Cấp số nhân là dãy số $(u_n)$ trong đó, kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi $q$ , gọi là công bội.

Câu 4. Để nắm vững và vận dụng tốt bài Bài 7: Cấp số nhân, học sinh cần lưu ý điều nào sau đây? A. Số hạng tổng quát của cấp số nhân: $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$ . B. Không cần ghi nhớ các lưu ý trọng tâm vì chúng không ảnh hưởng đến việc làm bài tập. C. Áp dụng ngược lại hoàn toàn so với quy tắc và hướng dẫn trong phần kiến thức trọng tâm. D. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Bài 1 (Cơ bản — Hệ thống hóa kiến thức trọng tâm). Dựa vào phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 7: Cấp số nhân, em hãy trình bày các khái niệm, quy tắc hoặc nội dung cốt lõi của tiết học và nêu ý nghĩa của chúng.

Bài 2 (Thực hành — Phân tích & Giải mẫu theo ví dụ tiết học). Đọc kĩ tình huống/ví dụ trọng tâm của tiết học dưới đây, sau đó tự trình bày lại các bước thực hiện và nêu nhận xét rút ra:

Ví dụ. Cho cấp số nhân có $u_1 = 2$ và $q = 3$ . Tìm $u_5$ và $S_5$ .

Bài 3 (Vận dụng — Áp dụng quy tắc ghi nhớ vào bài tập). Vận dụng các điểm ghi nhớ trọng tâm của bài Bài 7: Cấp số nhân để giải thích hoặc thực hiện yêu cầu thực hành mở rộng sau:

Lời giải. Ta có $u_5 = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162$ . Tổng $S_5 = 2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{242}{2} = 242$ .

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Cho $\sin x = \dfrac{1}{3}$ với $x \in \left(0; \dfrac{\pi}{2}\right)$ . Tính $\cos 2x$ .

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Chứng minh dãy số $(u_n)$ với $u_n = 2n - 5$ là cấp số cộng và tìm công sai.

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Cho cấp số cộng có $u_1 = 4$ , $u_{10} = 31$ . Tìm công sai $d$ và tổng $S_{10}$ .

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-B, 2-C, 3-D, 4-A.
Giải thích chi tiết:
- Câu 1 (B): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Muốn tìm $q$ , tính $q = \frac{u_{n+1}}{u_n}$ với bất kì $n$ nào mà $u_n \ne 0$ ."
- Câu 2 (C): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Công thức $u_n = u_1 q^{n-1}$ dùng để tìm số hạng thứ $n$ hoặc tìm $n$ khi biết $u_n$ ."
- Câu 3 (D): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Cấp số nhân là dãy số $(u_n)$ trong đó, kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi $q$ , gọi là công bội."
- Câu 4 (A): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Số hạng tổng quát của cấp số nhân: $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$ ."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:
- Nội dung cốt lõi cần trình bày: Cấp số nhân là dãy số $(u_n)$ trong đó, kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi $q$ , gọi là công bội. Công thức truy hồi: $u_{n+1} = u_n \cdot q$ với mọi $n \ge 1$ .
- Tổng kết ghi nhớ: Muốn tìm $q$ , tính $q = \frac{u_{n+1}}{u_n}$ với bất kì $n$ nào mà $u_n \ne 0$ .; Công thức $u_n = u_1 q^{n-1}$ dùng để tìm số hạng thứ $n$ hoặc tìm $n$ khi biết $u_n$ .; Khi $q = 1$ , cấp số nhân là dãy không đổi; công thức tổng $S_n$ phải dùng dạng riêng.
Bài 2:
- Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Ví dụ. Cho cấp số nhân có $u_1 = 2$ và $q = 3$ . Tìm $u_5$ và $S_5$ .
- Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.
Bài 3:
- Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 7: Cấp số nhân (Muốn tìm $q$ , tính $q = \frac{u_{n+1}}{u_n}$ với bất kì $n$ nào mà $u_n \ne 0$ .; Công thức $u_n = u_1 q^{n-1}$ dùng để tìm số hạng thứ $n$ hoặc tìm $n$ khi biết $u_n$ .; Khi $q = 1$ , cấp số nhân là dãy không đổi; công thức tổng $S_n$ phải dùng dạng riêng.).
- Lời giải mẫu/Nhận xét: Lời giải. Ta có $u_5 = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162$ . Tổng $S_5 = 2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{242}{2} = 242$ .
Bài 4: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 1 - \dfrac{2}{9} = \dfrac{7}{9}$ . Phần 2:
Bài 5: $u_{n+1} - u_n = 2$ không đổi nên $(u_n)$ là cấp số cộng với công sai $d = 2$ .
Bài 6: $d = \dfrac{31 - 4}{9} = 3$ ; $S_{10} = \dfrac{10}{2}(4 + 31) = 175$ .

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

q

, tính

q = \frac{u_{n+1}}{u_n}

với bất kì

n

nào mà

u_n \ne 0

. C. Chỉ áp dụng kiến thức trong một trường hợp duy nhất, không cần kiểm tra điều kiện hay đơn vị. D. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác.

u_n = u_1 q^{n-1}

dùng để tìm số hạng thứ

n

hoặc tìm

n

khi biết

u_n

. D. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại.

(u_n)

trong đó, kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi

q

, gọi là công bội.

Câu 4. Để nắm vững và vận dụng tốt bài Bài 7: Cấp số nhân, học sinh cần lưu ý điều nào sau đây? A. Số hạng tổng quát của cấp số nhân:

u_n = u_1 \cdot q^{n-1}

. B. Không cần ghi nhớ các lưu ý trọng tâm vì chúng không ảnh hưởng đến việc làm bài tập. C. Áp dụng ngược lại hoàn toàn so với quy tắc và hướng dẫn trong phần kiến thức trọng tâm. D. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Ví dụ. Cho cấp số nhân có $u_1 = 2$ và $q = 3$ . Tìm $u_5$ và $S_5$ .

Lời giải. Ta có $u_5 = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162$ . Tổng $S_5 = 2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{242}{2} = 242$ .

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Cho

\sin x = \dfrac{1}{3}

với

x \in \left(0; \dfrac{\pi}{2}\right)

. Tính

\cos 2x

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Chứng minh dãy số

(u_n)

với

u_n = 2n - 5

là cấp số cộng và tìm công sai.

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Cho cấp số cộng có

u_1 = 4

u_{10} = 31

. Tìm công sai

d

và tổng

S_{10}

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-B, 2-C, 3-D, 4-A.

Giải thích chi tiết:

Câu 1 (B): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Muốn tìm $q$ , tính $q = \frac{u_{n+1}}{u_n}$ với bất kì $n$ nào mà $u_n \ne 0$ ."
Câu 2 (C): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Công thức $u_n = u_1 q^{n-1}$ dùng để tìm số hạng thứ $n$ hoặc tìm $n$ khi biết $u_n$ ."
Câu 3 (D): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Cấp số nhân là dãy số $(u_n)$ trong đó, kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi $q$ , gọi là công bội."
Câu 4 (A): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Số hạng tổng quát của cấp số nhân: $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$ ."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:

Nội dung cốt lõi cần trình bày: Cấp số nhân là dãy số $(u_n)$ trong đó, kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi $q$ , gọi là công bội. Công thức truy hồi: $u_{n+1} = u_n \cdot q$ với mọi $n \ge 1$ .
Tổng kết ghi nhớ: Muốn tìm $q$ , tính $q = \frac{u_{n+1}}{u_n}$ với bất kì $n$ nào mà $u_n \ne 0$ .; Công thức $u_n = u_1 q^{n-1}$ dùng để tìm số hạng thứ $n$ hoặc tìm $n$ khi biết $u_n$ .; Khi $q = 1$ , cấp số nhân là dãy không đổi; công thức tổng $S_n$ phải dùng dạng riêng.

Bài 2:

Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Ví dụ. Cho cấp số nhân có $u_1 = 2$ và $q = 3$ . Tìm $u_5$ và $S_5$ .
Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.

Bài 3:

Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 7: Cấp số nhân (Muốn tìm $q$ , tính $q = \frac{u_{n+1}}{u_n}$ với bất kì $n$ nào mà $u_n \ne 0$ .; Công thức $u_n = u_1 q^{n-1}$ dùng để tìm số hạng thứ $n$ hoặc tìm $n$ khi biết $u_n$ .; Khi $q = 1$ , cấp số nhân là dãy không đổi; công thức tổng $S_n$ phải dùng dạng riêng.).
Lời giải mẫu/Nhận xét: Lời giải. Ta có $u_5 = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162$ . Tổng $S_5 = 2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{242}{2} = 242$ .

Bài 4:

\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 1 - \dfrac{2}{9} = \dfrac{7}{9}

. Phần 2:

Bài 5:

u_{n+1} - u_n = 2

không đổi nên

(u_n)

là cấp số cộng với công sai

d = 2

Bài 6:

d = \dfrac{31 - 4}{9} = 3

;

S_{10} = \dfrac{10}{2}(4 + 31) = 175