Bài tập ôn – Toán 11 (Kết nối tri thức) – HK1 – Đề 1 tiết

Phạm vi: Bài 1 – Bài 9 (Lượng giác, Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân, Mẫu số liệu ghép nhóm).

Phần 1: Cơ bản

Bài 1. Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = 3n - 1$. Tính $u_1$ và $u_{10}$.

Bài 2. Xét tính tăng, giảm của dãy số $(u_n)$ với $u_n = 2n + 3$.

Bài 3. Cho cấp số cộng có $u_1 = 1$, công sai $d = 4$. Tính $u_6$.

Bài 4. Cho cấp số cộng có $u_1 = 2$, công sai $d = -3$. Tính $u_8$.

Bài 5. Cho cấp số nhân có $u_1 = 2$, công bội $q = 3$. Tính $u_5$.

Bài 6. Cho cấp số nhân có $u_1 = 81$, công bội $q = \dfrac{1}{3}$. Tính $u_4$.

Bài 7. Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = n^2$. Tính $u_3$ và $u_5$.

Bài 8. Tìm số hạng tổng quát của dãy số $1, 4, 7, 10, \dots$

Bài 9. Cho mẫu số liệu ghép nhóm: $[0; 10)$ có tần số $5$, $[10; 20)$ có tần số $15$. Tính số trung bình của mẫu.

Bài 10. Tìm nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm: $[0; 5)$ có tần số $3$, $[5; 10)$ có tần số $9$, $[10; 15)$ có tần số $6$.

Bài 11. Giải phương trình $\sin 2x = 1$.

Bài 12. Giải phương trình $\cos 3x = 0$.

Bài 13. Tính $\sin \dfrac{\pi}{12}$.

Bài 14. Tính $\cos \dfrac{\pi}{12}$.

Bài 15. Cho $\tan x = 2$. Tính $\tan 2x$.

Bài 16. Cho $\sin x = \dfrac{1}{3}$ với $x \in \left(0; \dfrac{\pi}{2}\right)$. Tính $\cos 2x$.

Phần 2: Nâng cao

Bài 17. Chứng minh dãy số $(u_n)$ với $u_n = 2n - 5$ là cấp số cộng và tìm công sai.

Bài 18. Cho cấp số cộng có $u_1 = 4$, $u_{10} = 31$. Tìm công sai $d$ và tổng $S_{10}$.

Bài 19. Cho cấp số nhân có $u_1 = 3$, $u_4 = 24$. Tìm công bội $q$ và tổng $S_4$.

Bài 20. Tìm ba số hạng đầu của cấp số nhân biết $u_1 = 2$, công bội $q = -2$.

Bài 21. Cho mẫu số liệu ghép nhóm: $[0; 10)$ có tần số $4$, $[10; 20)$ có tần số $16$, $[20; 30)$ có tần số $10$. Tính trung vị của mẫu số liệu.

Bài 22. Cho mẫu số liệu ghép nhóm: $[0; 10)$ có tần số $6$, $[10; 20)$ có tần số $9$, $[20; 30)$ có tần số $15$. Tính tứ phân vị thứ nhất $Q_1$.

Bài 23. Giải phương trình $\sin x + \sqrt{3}\cos x = 2$.

Bài 24. Giải phương trình $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$.

Đáp án

Phần 1:

1. $u_1 = 2$; $u_{10} = 29$.
2. u_{n+1} - u_n = 2 > 0 nên dãy tăng.
3. $u_6 = 1 + 5 \cdot 4 = 21$.
4. $u_8 = 2 + 7 \cdot (-3) = -19$.
5. $u_5 = 2 \cdot 3^4 = 162$.
6. $u_4 = 81 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = 3$.
7. $u_3 = 9$; $u_5 = 25$.
8. $u_n = 3n - 2$.
9. $\bar{x} = \dfrac{5 \cdot 5 + 15 \cdot 15}{20} = 12{,}5$.
10. Nhóm $[5; 10)$ (tần số lớn nhất bằng $9$).
11. $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$.
12. $x = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{3}$.
13. $\sin \dfrac{\pi}{12} = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
14. $\cos \dfrac{\pi}{12} = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
15. $\tan 2x = \dfrac{2 \cdot 2}{1 - 2^2} = -\dfrac{4}{3}$.
16. $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 1 - \dfrac{2}{9} = \dfrac{7}{9}$.

Phần 2: 17. $u_{n+1} - u_n = 2$ không đổi nên $(u_n)$ là cấp số cộng với công sai $d = 2$. 18. $d = \dfrac{31 - 4}{9} = 3$; $S_{10} = \dfrac{10}{2}(4 + 31) = 175$. 19. $q^3 = \dfrac{24}{3} = 8$, suy ra $q = 2$; $S_4 = 3 \cdot \dfrac{2^4 - 1}{2 - 1} = 45$. 20. $2, -4, 8$. 21. Cỡ mẫu $n = 30$. Nhóm chứa trung vị là $[10; 20)$. $M_e = 10 + \dfrac{15 - 4}{16} \cdot 10 = 16{,}875 \approx 16{,}88$. 22. Cỡ mẫu $n = 30$. Vị trí $Q_1$ là $\dfrac{n}{4} = 7{,}5$, thuộc nhóm $[10; 20)$. $Q_1 = 10 + \dfrac{7{,}5 - 6}{9} \cdot 10 \approx 11{,}67$. 23. $\sin x + \sqrt{3}\cos x = 2 \iff \sin\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right) = 1$. Vậy $x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi$. 24. $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0 \iff (\sin x - 1)(2\sin x - 1) = 0$. Vậy $x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi$; $x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi$.