Bài tập ôn Toán lớp 11 – HK2 (15 phút)

Phạm vi: Bài 15 (Giới hạn của dãy số), Bài 16 (Giới hạn của hàm số), Bài 17 (Hàm số liên tục).

---

Phần 1: Cơ bản

Bài 1. Tính $\lim \dfrac{2n^2+1}{n^2-3}$.

Bài 2. Tính $\lim \dfrac{n+5}{3n-1}$.

Bài 3. Tính $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2+3x-10}{x-2}$.

Bài 4. Tính $\lim_{x \to 0} \dfrac{x^2-5x}{x}$.

Bài 5. Tính $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^3-1}{x-1}$.

Bài 6. Tính $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x-3}{x+4}$.

Bài 7. Tính $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2+1}{2x^2-x}$.

Bài 8. Tính $\lim \left(\sqrt{n^2+2n} - n\right)$.

Bài 9. Hàm số $f(x) = 2x - 1$ có liên tục tại $x = 3$ không? Vì sao?

Bài 10. Xét tính liên tục của hàm số $f(x) = x^2 + 1$ tại $x = 0$.

Bài 11. Tính $\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2-9}{x-3}$.

Bài 12. Tính $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x}{x}$.

Bài 13. Tính $\lim \dfrac{3n^3-2}{n^3+1}$.

Bài 14. Tính $\lim_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}$.

Bài 15. Tính $\lim_{x \to -2} \dfrac{x^2+2x}{x+2}$.

Bài 16. Tìm $a$ để hàm số $f(x) = \dfrac{x^2-4}{x-2}$ khi $x \ne 2$ và $f(2) = a$ liên tục tại $x = 2$.

Phần 2: Nâng cao

Bài 17. Tính $\lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$.

Bài 18. Tính $\lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 2x}{x^2}$.

Bài 19. Tính $\lim \left(\sqrt{4n^2+1} - 2n\right)$.

Bài 20. Tính $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^3-8}{x^2-4}$.

Bài 21. Chứng minh hàm số $f(x) = x^3 - 3x + 1$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Bài 22. Tìm $m$ để hàm số $f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}$ khi $x \ne 1$ và $f(1) = m$ liên tục tại $x = 1$.

Bài 23. Tính $\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2+x} - x\right)$.

Bài 24. Tính $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x}$.

---

Đáp án

1. $2$
2. $\dfrac{1}{3}$
3. $7$ (phân tích tử: $(x-2)(x+5)$)
4. $-5$
5. $3$ (phân tích tử: $(x-1)(x^2+x+1)$)
6. $2$
7. $\dfrac{1}{2}$
8. $1$ (nhân liên hợp: $\dfrac{2n}{\sqrt{n^2+2n}+n}$)
9. Có, vì $f(3) = 5$ và $\lim_{x \to 3} f(x) = 5$
10. Liên tục, vì $f(0) = 1$ và $\lim_{x \to 0} f(x) = 1$
11. $6$
12. $3$ (vì $\dfrac{\sin 3x}{x} = 3 \cdot \dfrac{\sin 3x}{3x}$)
13. $3$
14. $\dfrac{1}{4}$ (nhân liên hợp: $\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}$)
15. $-2$
16. $a = 4$ (vì $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2}(x+2) = 4$)
17. $\dfrac{1}{4}$ (nhân liên hợp: $\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}$)
18. $2$ (vì $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$)
19. $0$ (nhân liên hợp: $\dfrac{1}{\sqrt{4n^2+1}+2n}$)
20. $3$ (phân tích: $\dfrac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)}$, tại $x = 2$ bằng $\dfrac{12}{4}$)
21. $f$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$
22. $m = 2$ (vì $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1}(x+1) = 2$)
23. $\dfrac{1}{2}$ (nhân liên hợp: $\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}$)
24. $1$ (vì $\dfrac{\tan x}{x} = \dfrac{\sin x}{x} \cdot \dfrac{1}{\cos x}$)