Bài tập ôn – Toán 11 (Kết nối tri thức) – HK1 – Kiểm tra cuối kỳ

Phạm vi: Toàn HK1 — Bài 1 – Bài 14 (Lượng giác, Dãy số, Mẫu số liệu ghép nhóm, Quan hệ song song trong không gian, Phép chiếu song song).

Phần 1: Cơ bản

Bài 1. Đổi $135^\circ$ sang rađian.

Bài 2. Đổi $\dfrac{2\pi}{3}$ sang độ.

Bài 3. Tính $\cos \dfrac{5\pi}{4}$.

Bài 4. Tính $\tan \dfrac{7\pi}{6}$.

Bài 5. Cho $\cos x = \dfrac{1}{4}$ với $x \in \left(0; \dfrac{\pi}{2}\right)$. Tính $\sin x$.

Bài 6. Giải phương trình $\sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) = 0$.

Bài 7. Giải phương trình $\cos\left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right) = 1$.

Bài 8. Cho cấp số cộng có $u_1 = -2$, công sai $d = 5$. Tính $u_7$.

Bài 9. Cho cấp số cộng có $u_1 = 10$, công sai $d = -2$. Tính $u_{10}$.

Bài 10. Cho cấp số nhân có $u_1 = 1$, công bội $q = \dfrac{1}{2}$. Tính $u_6$.

Bài 11. Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = 3^n$. Tính $u_2$ và $u_4$.

Bài 12. Cho mẫu số liệu ghép nhóm: $[0; 10)$ có tần số $10$, $[10; 20)$ có tần số $30$. Tính số trung bình của mẫu.

Bài 13. Tìm nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm: $[0; 10)$ có tần số $4$, $[10; 20)$ có tần số $14$, $[20; 30)$ có tần số $7$.

Bài 14. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AD$, $BC$. Hỏi $MN$ và $AB$ có vị trí tương đối như thế nào?

Bài 15. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, $O = AC \cap BD$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SBD)$ và $(SAC)$.

Bài 16. Cho $(\alpha) \parallel (\beta)$, $a \subset (\alpha)$, $b \subset (\beta)$. Hỏi $a$ và $b$ có thể có những vị trí tương đối nào?

Bài 17. Phép chiếu song song biến một tam giác thành hình gì?

Bài 18. Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $(ABB'A')$ và $(CDD'C')$ song song với đường thẳng nào?

Phần 2: Nâng cao

Bài 19. Chứng minh đẳng thức: $\cos^4 x - \sin^4 x = \cos 2x$.

Bài 20. Giải phương trình $\sin^2 x - 2\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0$.

Bài 21. Cho cấp số cộng có $u_1 = 2$, $u_n = 62$, $S_n = 320$. Tìm $n$ và công sai $d$.

Bài 22. Cho cấp số nhân có $u_1 = 1$, công bội $q = 2$, $S_n = 127$. Tìm $n$.

Bài 23. Cho mẫu số liệu ghép nhóm: $[0; 10)$ có tần số $8$, $[10; 20)$ có tần số $12$, $[20; 30)$ có tần số $20$, $[30; 40)$ có tần số $10$. Tính số trung bình của mẫu.

Bài 24. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$, $SD$. Chứng minh $MN \parallel (SBC)$.

Bài 25. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(AGD)$ và $(ABC)$.

Bài 26. Tìm tập xác định của hàm số $y = \tan x + \dfrac{1}{\sin x}$.

Đáp án

Phần 1:

1. $\dfrac{3\pi}{4}$.
2. $120^\circ$.
3. $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
4. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
5. $\sin x = \dfrac{\sqrt{15}}{4}$.
6. $x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$.
7. $x = -\dfrac{\pi}{8} + k\pi$.
8. $u_7 = -2 + 6 \cdot 5 = 28$.
9. $u_{10} = 10 + 9 \cdot (-2) = -8$.
10. $u_6 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^5 = \dfrac{1}{32}$.
11. $u_2 = 9$; $u_4 = 81$.
12. $\bar{x} = \dfrac{10 \cdot 5 + 30 \cdot 15}{40} = 12{,}5$.
13. Nhóm $[10; 20)$ (tần số lớn nhất bằng $14$).
14. $MN$ và $AB$ chéo nhau.
15. Giao tuyến là $SO$.
16. $a$ và $b$ song song hoặc chéo nhau.
17. Tam giác hoặc đoạn thẳng.
18. Giao tuyến song song với $AA'$.

Phần 2: 19. $\cos^4 x - \sin^4 x = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) = \cos 2x \cdot 1 = \cos 2x$. 20. Chia hai vế cho $\cos^2 x$: $\tan^2 x - 2\tan x - 3 = 0$. Vậy $\tan x = 3$, $x = \arctan 3 + k\pi$; $\tan x = -1$, $x = -\dfrac{\pi}{4} + k\pi$. 21. $S_n = \dfrac{n(2 + 62)}{2} = 32n = 320$, suy ra $n = 10$; $u_{10} = 2 + 9d = 62$, suy ra $d = \dfrac{20}{3}$. 22. $S_n = 2^n - 1 = 127$, suy ra $n = 7$. 23. $\bar{x} = \dfrac{8 \cdot 5 + 12 \cdot 15 + 20 \cdot 25 + 10 \cdot 35}{50} = \dfrac{1070}{50} = 21{,}4$. 24. $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAD$ nên $MN \parallel AD$. Vì $AD \parallel BC$, $BC \subset (SBC)$ và $MN \not\subset (SBC)$ nên $MN \parallel (SBC)$. 25. Gọi $M = DG \cap BC$ (M là trung điểm của $BC$). Giao tuyến của $(AGD)$ và $(ABC)$ là $AM$. 26. $\cos x \ne 0$ và $\sin x \ne 0$, vậy $x \ne \dfrac{k\pi}{2}$ $(k \in \mathbb{Z})$.