Bài tập ôn – Toán 11 (Kết nối tri thức) – HK1 – Kiểm tra giữa kỳ

Phạm vi: Bài 1 – Bài 11 (Lượng giác, Dãy số, Mẫu số liệu ghép nhóm, Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Hai đường thẳng song song).

Phần 1: Cơ bản

Bài 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AB \parallel CD$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ song song với đường thẳng nào?

Bài 2. Cho hai đường thẳng $a$, $b$ chéo nhau. Khẳng định "Không có mặt phẳng nào chứa cả $a$ và $b$" đúng hay sai?

Bài 3. Cho $d \parallel (\alpha)$ và $d' \subset (\alpha)$. Hỏi $d$ và $d'$ có thể có những vị trí tương đối nào?

Bài 4. Cho $(\alpha) \parallel (\beta)$ và $d \subset (\alpha)$. Kết luận gì về vị trí tương đối của $d$ và $(\beta)$?

Bài 5. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$. Chứng minh $MN \parallel BC$.

Bài 6. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, $O = AC \cap BD$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$.

Bài 7. Giải phương trình $\tan\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) = 1$.

Bài 8. Giải phương trình $\cot 2x = -1$.

Bài 9. Cho cấp số cộng có $u_1 = 3$, $u_2 = 7$. Tìm công sai $d$ và $u_5$.

Bài 10. Cho cấp số nhân có $u_1 = 1$, $u_2 = -2$. Tìm công bội $q$ và $u_4$.

Bài 11. Dãy số $(u_n)$ với $u_n = (-1)^n$ có đơn điệu không? Vì sao?

Bài 12. Cho mẫu số liệu ghép nhóm: $[0; 10)$ có tần số $8$, $[10; 20)$ có tần số $12$. Tính số trung bình của mẫu.

Bài 13. Tìm nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm: $[0; 10)$ có tần số $4$, $[10; 20)$ có tần số $6$, $[20; 30)$ có tần số $10$.

Bài 14. Cho $\sin x = \dfrac{2}{3}$ với $x \in \left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right)$. Tính $\cos x$.

Bài 15. Tính $\tan 2x$ biết $\tan x = \dfrac{1}{2}$.

Bài 16. Cho cấp số cộng có $u_3 = 10$, $u_7 = 22$. Tìm $u_1$ và công sai $d$.

Phần 2: Nâng cao

Bài 17. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$, $AD$. Chứng minh $(MNP) \parallel (BCD)$.

Bài 18. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm của $SC$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(MAB)$ và $(SCD)$.

Bài 19. Giải phương trình $\sin 3x = \cos x$.

Bài 20. Cho cấp số cộng có $u_2 = 6$, $u_5 = 15$. Tìm $u_1$, công sai $d$ và tổng $S_5$.

Bài 21. Cho cấp số nhân có $u_2 = 6$, $u_4 = 54$. Tìm công bội $q$ và $u_1$.

Bài 22. Cho mẫu số liệu ghép nhóm: $[0; 10)$ có tần số $5$, $[10; 20)$ có tần số $10$, $[20; 30)$ có tần số $15$. Tính mốt của mẫu số liệu.

Bài 23. Giải phương trình $2\cos^2 x + 3\sin x - 3 = 0$.

Bài 24. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2\sin x + \cos x$.

Đáp án

Phần 1:

1. Giao tuyến song song với $AB$ (và $CD$).
2. Đúng.
3. $d$ và $d'$ song song hoặc chéo nhau.
4. $d \parallel (\beta)$.
5. $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MN \parallel BC$.
6. Giao tuyến là $SO$.
7. $x = \dfrac{\pi}{12} + k\pi$.
8. $x = -\dfrac{\pi}{8} + \dfrac{k\pi}{2}$.
9. $d = 4$; $u_5 = 19$.
10. $q = -2$; $u_4 = -8$.
11. Không đơn điệu vì các số hạng đổi dấu liên tục: $-1, 1, -1, 1, \dots$
12. $\bar{x} = \dfrac{8 \cdot 5 + 12 \cdot 15}{20} = 11$.
13. Cỡ mẫu $n = 20$, vị trí trung vị là $10$, thuộc nhóm $[10; 20)$.
14. $\cos x = -\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ (vì $x$ thuộc góc phần tư thứ II).
15. $\tan 2x = \dfrac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \dfrac{4}{3}$.
16. $4d = 12$, suy ra $d = 3$; $u_1 = 10 - 2 \cdot 3 = 4$.

Phần 2: 17. $MN \parallel BC$ và $MP \parallel BD$, mà $BC$, $BD$ là hai đường thẳng cắt nhau trong $(BCD)$, nên $(MNP) \parallel (BCD)$. 18. $M \in (MAB) \cap (SCD)$ và $AB \parallel CD$, nên giao tuyến là đường thẳng qua $M$ song song với $AB$ (và $CD$). 19. $\sin 3x = \cos x \iff \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - 3x\right) = \cos x$. Vậy $x = \dfrac{\pi}{8} - \dfrac{k\pi}{2}$ hoặc $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$. 20. $3d = 9$, suy ra $d = 3$; $u_1 = 3$; $S_5 = \dfrac{5}{2}(3 + 15) = 45$. 21. $q^2 = \dfrac{54}{6} = 9$, suy ra $q = 3$ hoặc $q = -3$. Nếu $q = 3$ thì $u_1 = 2$; nếu $q = -3$ thì $u_1 = -2$. 22. Nhóm chứa mốt là $[20; 30)$. $M_0 = 20 + \dfrac{15 - 10}{(15 - 10) + (15 - 0)} \cdot 10 = 22{,}5$. 23. $2(1 - \sin^2 x) + 3\sin x - 3 = 0 \iff 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$. Vậy $x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi$; $x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi$. 24. $y = \sqrt{5}\sin(x + \varphi)$ với $\varphi$ thỏa mãn $\cos\varphi = \dfrac{2}{\sqrt{5}}$, $\sin\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$. GTLN $\sqrt{5}$, GTNN $-\sqrt{5}$.