Bài 3: Vận tốc, gia tốc trong dao động điều hoà

1. Kiến thức trọng tâm

Vận tốc và gia tốc trong dao động điều hoà đều biến thiên điều hoà theo thời gian, cùng tần số góc với li độ nhưng lệch pha so với li độ.

Vận tốc là đạo hàm của li độ theo thời gian. Với $x = A\cos(\omega t + \varphi)$:

$v = -\omega A\sin(\omega t + \varphi) = \omega A\cos(\omega t + \varphi + \frac{\pi}{2})$

Vận tốc sớm pha $\frac{\pi}{2}$ so với li độ. Tốc độ cực đại: $v_{max} = \omega A$, đạt được khi vật qua vị trí cân bằng. Tại hai biên, vận tốc bằng không.

Gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian:

$a = -\omega^2 A\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2 x$

Gia tốc ngược pha với li độ, tức sớm pha $\pi$ so với li độ và sớm pha $\frac{\pi}{2}$ so với vận tốc. Gia tốc luôn hướng về vị trí cân bằng. Độ lớn gia tốc cực đại: $a_{max} = \omega^2 A$, đạt được tại hai biên. Tại vị trí cân bằng, gia tốc bằng không.

Hệ thức độc lập với thời gian: $\frac{x^2}{A^2} + \frac{v^2}{\omega^2 A^2} = 1$ và $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$.

2. Ví dụ minh họa

Một vật dao động điều hoà với biên độ $8$ cm và tần số góc $\omega = 5$ rad/s. Tính tốc độ cực đại, gia tốc cực đại và tốc độ của vật khi li độ $x = 6$ cm.

Lời giải:

• Tốc độ cực đại: $v_{max} = \omega A = 5 \cdot 8 = 40$ cm/s.
• Gia tốc cực đại: $a_{max} = \omega^2 A = 25 \cdot 8 = 200$ cm/s².
• Tốc độ khi $x = 6$ cm: $v = \pm\omega\sqrt{A^2 - x^2} = \pm 5\sqrt{64 - 36} = \pm 5\sqrt{28} \approx \pm 26,5$ cm/s.

3. Ghi nhớ

• $v = -\omega A\sin(\omega t + \varphi)$, $v_{max} = \omega A$ tại vị trí cân bằng.
• $a = -\omega^2 x$, $a_{max} = \omega^2 A$ tại hai biên; gia tốc luôn hướng về vị trí cân bằng.
• $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ giúp tính tốc độ tại li độ bất kì.