Bài 4: Bài tập về dao động điều hoà

1. Kiến thức trọng tâm

Để giải bài tập về dao động điều hoà, cần nắm chắc các công thức liên hệ giữa li độ, vận tốc, gia tốc và thời gian, đồng thời biết cách xác định pha ban đầu từ điều kiện lúc $t = 0$.

Các công thức cơ bản:

• Li độ: $x = A\cos(\omega t + \varphi)$.
• Vận tốc: $v = -\omega A\sin(\omega t + \varphi)$.
• Gia tốc: $a = -\omega^2 x$.
• Liên hệ: $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$; $v_{max} = \omega A$; $a_{max} = \omega^2 A$; $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$.

Xác định pha ban đầu: từ $x_0 = A\cos\varphi$ và dấu của vận tốc lúc $t = 0$ ($v_0 = -\omega A\sin\varphi$). Nếu v_0 > 0 thì \sin\varphi < 0; nếu v_0 < 0 thì \sin\varphi > 0. Vòng tròn lượng giác giúp xác định $\varphi$ nhanh và ít nhầm lẫn.

Bài toán tìm thời điểm vật qua vị trí cho trước: giải phương trình $\cos(\omega t + \varphi) = \frac{x}{A}$ rồi chọn nghiệm thỏa mãn chiều chuyển động. Bài toán quãng đường: tách thời gian thành số nguyên lần chu kì cộng phần lẻ, dùng vòng tròn lượng giác cho phần lẻ. Trong một chu kì, vật đi quãng đường $4A$; trong nửa chu kì, quãng đường là $2A$.

2. Ví dụ minh họa

Một vật dao động điều hoà với phương trình $x = 10\cos(2\pi t - \frac{\pi}{6})$ (cm). Tìm thời điểm đầu tiên vật qua vị trí $x = 5$ cm theo chiều dương.

Lời giải:

Giải $\cos(2\pi t - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$: $2\pi t - \frac{\pi}{6} = \pm\frac{\pi}{3} + k2\pi$.

Vật chuyển động theo chiều dương khi \sin(2\pi t - \frac{\pi}{6}) < 0, chọn nghiệm $2\pi t - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + k2\pi$. Với $k = 0$: $2\pi t = -\frac{\pi}{6}$, loại. Với $k = 1$: $2\pi t = \frac{11\pi}{6}$, $t = \frac{11}{12}$ s. Vậy thời điểm đầu tiên là $t = \frac{11}{12}$ s.

3. Ghi nhớ

• Xác định $\varphi$ từ $x_0$ và dấu của $v_0$.
• Thời điểm qua vị trí cho trước: giải phương trình lượng giác, chọn nghiệm theo chiều chuyển động.
• Quãng đường trong một chu kì là $4A$, trong nửa chu kì là $2A$.