Bài tập — Bài 10: Phương sai và độ lệch chuẩn

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

Câu 1. Nội dung nào sau đây phản ánh đúng kiến thức cần ghi nhớ trong bài Bài 10: Phương sai và độ lệch chuẩn? A. Bỏ qua các khái niệm cơ bản và chỉ học thuộc lòng kết quả cuối cùng mà không cần hiểu bản chất. B. Chỉ áp dụng kiến thức trong một trường hợp duy nhất, không cần kiểm tra điều kiện hay đơn vị. C. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác. D. Phương sai: $s^2 = \frac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2$ ; độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{s^2}$ .

Câu 2. Khi học và vận dụng bài Bài 10: Phương sai và độ lệch chuẩn, khẳng định nào dưới đây là chính xác? A. Độ lệch chuẩn cùng đơn vị với dữ liệu, dễ diễn giải. B. Không cần đọc kĩ đề bài hay phân tích dữ kiện trước khi thực hiện các bước giải. C. Mọi khái niệm trong bài đều có thể thay thế tùy ý cho nhau mà không làm thay đổi kết quả. D. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại.

Câu 3. Theo phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 10: Phương sai và độ lệch chuẩn, phát biểu nào sau đây là đúng? A. Kết luận ngay kết quả khi chưa đối chiếu với quy tắc hoặc định nghĩa trong bài học. B. Phương sai và độ lệch chuẩn đo mức độ phân tán của các số liệu quanh giá trị trung bình. C. Thay đổi toàn bộ quy tắc trọng tâm của bài học theo cảm tính cá nhân. D. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học.

Câu 4. Để nắm vững và vận dụng tốt bài Bài 10: Phương sai và độ lệch chuẩn, học sinh cần lưu ý điều nào sau đây? A. Không cần ghi nhớ các lưu ý trọng tâm vì chúng không ảnh hưởng đến việc làm bài tập. B. Áp dụng ngược lại hoàn toàn so với quy tắc và hướng dẫn trong phần kiến thức trọng tâm. C. Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai: $s = \sqrt{s^2}$ . D. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Bài 1 (Cơ bản — Hệ thống hóa kiến thức trọng tâm). Dựa vào phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 10: Phương sai và độ lệch chuẩn, em hãy trình bày các khái niệm, quy tắc hoặc nội dung cốt lõi của tiết học và nêu ý nghĩa của chúng.

Bài 2 (Thực hành — Phân tích & Giải mẫu theo ví dụ tiết học). Đọc kĩ tình huống/ví dụ trọng tâm của tiết học dưới đây, sau đó tự trình bày lại các bước thực hiện và nêu nhận xét rút ra:

Cho mẫu số liệu: $4, 6, 8, 10$ . Số trung bình là $\bar{x} = \frac{4 + 6 + 8 + 10}{4} = 7$ . Phương sai: $s^2 = \frac{(4-7)^2 + (6-7)^2 + (8-7)^2 + (10-7)^2}{4} = \frac{9 + 1 + 1 + 9}{4} = 5$ . Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{5} \approx 2{,}24$ .

Bài 3 (Vận dụng — Áp dụng quy tắc ghi nhớ vào bài tập). Vận dụng các điểm ghi nhớ trọng tâm của bài Bài 10: Phương sai và độ lệch chuẩn để giải thích hoặc thực hiện yêu cầu thực hành mở rộng sau:

Xét mẫu thứ hai: $6, 7, 7, 8$ cũng có số trung bình bằng $7$ , nhưng $s^2 = \frac{1 + 0 + 0 + 1}{4} = 0{,}5$ và $s \approx 0{,}71$ . Hai mẫu có cùng số trung bình nhưng mẫu thứ hai tập trung hơn nhiều quanh giá trị trung bình, thể hiện qua độ lệch chuẩn nhỏ hơn.

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Tìm nguyên hàm của $f(x) = x\cos x$ .

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Tính $\int_0^{\pi/2} x\cos x,dx$ .

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = e^x$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 1$ .

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-D, 2-A, 3-B, 4-C.
Giải thích chi tiết:
- Câu 1 (D): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Phương sai: $s^2 = \frac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2$ ; độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{s^2}$ ."
- Câu 2 (A): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Độ lệch chuẩn cùng đơn vị với dữ liệu, dễ diễn giải."
- Câu 3 (B): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Phương sai và độ lệch chuẩn đo mức độ phân tán của các số liệu quanh giá trị trung bình."
- Câu 4 (C): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai: $s = \sqrt{s^2}$ ."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:
- Nội dung cốt lõi cần trình bày: Phương sai và độ lệch chuẩn đo mức độ phân tán của các số liệu quanh giá trị trung bình. Với mẫu số liệu $x_1, x_2, \dots, x_n$ có số trung bình $\bar{x}$ , phương sai là $s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$ .
- Tổng kết ghi nhớ: Phương sai: $s^2 = \frac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2$ ; độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{s^2}$ .; Độ lệch chuẩn cùng đơn vị với dữ liệu, dễ diễn giải.; Phương sai, độ lệch chuẩn càng nhỏ thì dữ liệu càng đồng đều.
Bài 2:
- Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Cho mẫu số liệu: $4, 6, 8, 10$ . Số trung bình là $\bar{x} = \frac{4 + 6 + 8 + 10}{4} = 7$ . Phương sai: $s^2 = \frac{(4-7)^2 + (6-7)^2 + (8-7)^2 + (10-7)^2}{4} = \frac{9 + 1 + 1 + 9}{4} = 5$ . Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{5} \approx 2{,}24$ .
- Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.
Bài 3:
- Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 10: Phương sai và độ lệch chuẩn (Phương sai: $s^2 = \frac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2$ ; độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{s^2}$ .; Độ lệch chuẩn cùng đơn vị với dữ liệu, dễ diễn giải.; Phương sai, độ lệch chuẩn càng nhỏ thì dữ liệu càng đồng đều.).
- Lời giải mẫu/Nhận xét: Xét mẫu thứ hai: $6, 7, 7, 8$ cũng có số trung bình bằng $7$ , nhưng $s^2 = \frac{1 + 0 + 0 + 1}{4} = 0{,}5$ và $s \approx 0{,}71$ . Hai mẫu có cùng số trung bình nhưng mẫu thứ hai tập trung hơn nhiều quanh giá trị trung bình, thể hiện qua độ lệch chuẩn nhỏ hơn.
Bài 4: $x\sin x + \cos x + C$ . Kiểm tra: $\dfrac{d}{dx}(x\sin x + \cos x) = \sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x$ .
Bài 5: $\dfrac{\pi}{2} - 1$ . Dùng từng phần: $\int_0^{\pi/2} x\cos x,dx = \left[x\sin x\right]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} \sin x,dx = \dfrac{\pi}{2} - 1$ .
Bài 6: $e - 1$ . Vì $\int_0^1 e^x,dx = e - 1$ .

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

s^2 = \frac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2

; độ lệch chuẩn:

s = \sqrt{s^2}

s = \sqrt{s^2}

. D. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Cho mẫu số liệu: $4, 6, 8, 10$ . Số trung bình là $\bar{x} = \frac{4 + 6 + 8 + 10}{4} = 7$ . Phương sai: $s^2 = \frac{(4-7)^2 + (6-7)^2 + (8-7)^2 + (10-7)^2}{4} = \frac{9 + 1 + 1 + 9}{4} = 5$ . Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{5} \approx 2{,}24$ .

Xét mẫu thứ hai: $6, 7, 7, 8$ cũng có số trung bình bằng $7$ , nhưng $s^2 = \frac{1 + 0 + 0 + 1}{4} = 0{,}5$ và $s \approx 0{,}71$ . Hai mẫu có cùng số trung bình nhưng mẫu thứ hai tập trung hơn nhiều quanh giá trị trung bình, thể hiện qua độ lệch chuẩn nhỏ hơn.

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Tìm nguyên hàm của

f(x) = x\cos x

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Tính

\int_0^{\pi/2} x\cos x,dx

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

y = e^x

y = 0

x = 0

x = 1

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-D, 2-A, 3-B, 4-C.

Giải thích chi tiết:

Câu 1 (D): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Phương sai: $s^2 = \frac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2$ ; độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{s^2}$ ."
Câu 2 (A): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Độ lệch chuẩn cùng đơn vị với dữ liệu, dễ diễn giải."
Câu 3 (B): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Phương sai và độ lệch chuẩn đo mức độ phân tán của các số liệu quanh giá trị trung bình."
Câu 4 (C): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai: $s = \sqrt{s^2}$ ."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:

Nội dung cốt lõi cần trình bày: Phương sai và độ lệch chuẩn đo mức độ phân tán của các số liệu quanh giá trị trung bình. Với mẫu số liệu $x_1, x_2, \dots, x_n$ có số trung bình $\bar{x}$ , phương sai là $s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$ .
Tổng kết ghi nhớ: Phương sai: $s^2 = \frac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2$ ; độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{s^2}$ .; Độ lệch chuẩn cùng đơn vị với dữ liệu, dễ diễn giải.; Phương sai, độ lệch chuẩn càng nhỏ thì dữ liệu càng đồng đều.

Bài 2:

Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Cho mẫu số liệu: $4, 6, 8, 10$ . Số trung bình là $\bar{x} = \frac{4 + 6 + 8 + 10}{4} = 7$ . Phương sai: $s^2 = \frac{(4-7)^2 + (6-7)^2 + (8-7)^2 + (10-7)^2}{4} = \frac{9 + 1 + 1 + 9}{4} = 5$ . Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{5} \approx 2{,}24$ .
Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.

Bài 3:

Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 10: Phương sai và độ lệch chuẩn (Phương sai: $s^2 = \frac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2$ ; độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{s^2}$ .; Độ lệch chuẩn cùng đơn vị với dữ liệu, dễ diễn giải.; Phương sai, độ lệch chuẩn càng nhỏ thì dữ liệu càng đồng đều.).
Lời giải mẫu/Nhận xét: Xét mẫu thứ hai: $6, 7, 7, 8$ cũng có số trung bình bằng $7$ , nhưng $s^2 = \frac{1 + 0 + 0 + 1}{4} = 0{,}5$ và $s \approx 0{,}71$ . Hai mẫu có cùng số trung bình nhưng mẫu thứ hai tập trung hơn nhiều quanh giá trị trung bình, thể hiện qua độ lệch chuẩn nhỏ hơn.

Bài 4:

x\sin x + \cos x + C

. Kiểm tra:

\dfrac{d}{dx}(x\sin x + \cos x) = \sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x

Bài 5:

\dfrac{\pi}{2} - 1

. Dùng từng phần:

\int_0^{\pi/2} x\cos x,dx = \left[x\sin x\right]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} \sin x,dx = \dfrac{\pi}{2} - 1

Bài 6:

e - 1

. Vì

\int_0^1 e^x,dx = e - 1