Bài tập — Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

Câu 1. Nội dung nào sau đây phản ánh đúng kiến thức cần ghi nhớ trong bài Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân? A. Bỏ qua các khái niệm cơ bản và chỉ học thuộc lòng kết quả cuối cùng mà không cần hiểu bản chất. B. Chỉ áp dụng kiến thức trong một trường hợp duy nhất, không cần kiểm tra điều kiện hay đơn vị. C. Diện tích dùng $|f(x)|$ ; thể tích tròn xoay dùng $\pi f^2(x)$ — đừng nhầm hai công thức. D. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác.

Câu 2. Khi học và vận dụng bài Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân, khẳng định nào dưới đây là chính xác? A. Không cần đọc kĩ đề bài hay phân tích dữ kiện trước khi thực hiện các bước giải. B. Mọi khái niệm trong bài đều có thể thay thế tùy ý cho nhau mà không làm thay đổi kết quả. C. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại. D. Luôn tìm giao điểm trước khi viết cận tích phân.

Câu 3. Theo phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân, phát biểu nào sau đây là đúng? A. Tích phân cho phép tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay. B. Kết luận ngay kết quả khi chưa đối chiếu với quy tắc hoặc định nghĩa trong bài học. C. Thay đổi toàn bộ quy tắc trọng tâm của bài học theo cảm tính cá nhân. D. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học.

Câu 4. Để nắm vững và vận dụng tốt bài Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân, học sinh cần lưu ý điều nào sau đây? A. Không cần ghi nhớ các lưu ý trọng tâm vì chúng không ảnh hưởng đến việc làm bài tập. B. Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y = f(x)$ , $y = g(x)$ và hai đường $x = a$ , $x = b$ có diện tích $S = \int_a^b |f(x) - g(x)|,dx$ . C. Áp dụng ngược lại hoàn toàn so với quy tắc và hướng dẫn trong phần kiến thức trọng tâm. D. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Bài 1 (Cơ bản — Hệ thống hóa kiến thức trọng tâm). Dựa vào phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân, em hãy trình bày các khái niệm, quy tắc hoặc nội dung cốt lõi của tiết học và nêu ý nghĩa của chúng.

Bài 2 (Thực hành — Phân tích & Giải mẫu theo ví dụ tiết học). Đọc kĩ tình huống/ví dụ trọng tâm của tiết học dưới đây, sau đó tự trình bày lại các bước thực hiện và nêu nhận xét rút ra:

Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ , trục $Ox$ và $x = 0$ , $x = 2$ .

Bài 3 (Vận dụng — Áp dụng quy tắc ghi nhớ vào bài tập). Vận dụng các điểm ghi nhớ trọng tâm của bài Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân để giải thích hoặc thực hiện yêu cầu thực hành mở rộng sau:

Giải. Trên $[0; 2]$ , $x^2 \ge 0$ nên $S = \int_0^2 x^2,dx = \frac{8}{3}$ .

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Tính góc giữa hai đường thẳng có vectơ chỉ phương lần lượt là $(1; 0; 0)$ và $(0; 1; 0)$ .

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ , $y = 0$ , $x = 1$ , $x = 2$ .

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Tính $\int_0^1 (2x + e^x),dx$ .

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-C, 2-D, 3-A, 4-B.
Giải thích chi tiết:
- Câu 1 (C): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Diện tích dùng $|f(x)|$ ; thể tích tròn xoay dùng $\pi f^2(x)$ — đừng nhầm hai công thức."
- Câu 2 (D): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Luôn tìm giao điểm trước khi viết cận tích phân."
- Câu 3 (A): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Tích phân cho phép tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay."
- Câu 4 (B): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y = f(x)$ , $y = g(x)$ và hai đường $x = a$ , $x = b$ có diện tích $S = \int_a^b |f(x) - g(x)|,dx$ ."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:
- Nội dung cốt lõi cần trình bày: Tích phân cho phép tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay. Diện tích hình phẳng. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$ liên tục, trục $Ox$ và hai đường $x = a$ , $x = b$ ( $a < b$ ) có diện tích $S = \int_a^b |f(x)|,dx$ .
- Tổng kết ghi nhớ: Diện tích dùng $|f(x)|$ ; thể tích tròn xoay dùng $\pi f^2(x)$ — đừng nhầm hai công thức.; Luôn tìm giao điểm trước khi viết cận tích phân.; Thể tích có đơn vị khối (đvtt), diện tích có đơn vị vuông (đvdt).
Bài 2:
- Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ , trục $Ox$ và $x = 0$ , $x = 2$ .
- Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.
Bài 3:
- Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân (Diện tích dùng $|f(x)|$ ; thể tích tròn xoay dùng $\pi f^2(x)$ — đừng nhầm hai công thức.; Luôn tìm giao điểm trước khi viết cận tích phân.; Thể tích có đơn vị khối (đvtt), diện tích có đơn vị vuông (đvdt).).
- Lời giải mẫu/Nhận xét: Giải. Trên $[0; 2]$ , $x^2 \ge 0$ nên $S = \int_0^2 x^2,dx = \frac{8}{3}$ .
Bài 4: $90^\circ$ .
Bài 5: $\dfrac{7}{3}$ . Vì $\int_1^2 x^2,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^2 = \dfrac{8}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}$ .
Bài 6: $e$ . Vì $\left[x^2 + e^x\right]_0^1 = (1 + e) - (0 + 1) = e$ .

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

|f(x)|

; thể tích tròn xoay dùng

\pi f^2(x)

— đừng nhầm hai công thức. D. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác.

y = f(x)

y = g(x)

và hai đường

x = a

x = b

có diện tích

S = \int_a^b |f(x) - g(x)|,dx

. C. Áp dụng ngược lại hoàn toàn so với quy tắc và hướng dẫn trong phần kiến thức trọng tâm. D. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ , trục $Ox$ và $x = 0$ , $x = 2$ .

Giải. Trên $[0; 2]$ , $x^2 \ge 0$ nên $S = \int_0^2 x^2,dx = \frac{8}{3}$ .

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Tính góc giữa hai đường thẳng có vectơ chỉ phương lần lượt là

(1; 0; 0)

và

(0; 1; 0)

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

y = x^2

y = 0

x = 1

x = 2

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Tính

\int_0^1 (2x + e^x),dx

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-C, 2-D, 3-A, 4-B.

Giải thích chi tiết:

Câu 1 (C): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Diện tích dùng $|f(x)|$ ; thể tích tròn xoay dùng $\pi f^2(x)$ — đừng nhầm hai công thức."
Câu 2 (D): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Luôn tìm giao điểm trước khi viết cận tích phân."
Câu 3 (A): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Tích phân cho phép tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay."
Câu 4 (B): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y = f(x)$ , $y = g(x)$ và hai đường $x = a$ , $x = b$ có diện tích $S = \int_a^b |f(x) - g(x)|,dx$ ."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:

Nội dung cốt lõi cần trình bày: Tích phân cho phép tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay. Diện tích hình phẳng. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$ liên tục, trục $Ox$ và hai đường $x = a$ , $x = b$ ( $a < b$ ) có diện tích $S = \int_a^b |f(x)|,dx$ .
Tổng kết ghi nhớ: Diện tích dùng $|f(x)|$ ; thể tích tròn xoay dùng $\pi f^2(x)$ — đừng nhầm hai công thức.; Luôn tìm giao điểm trước khi viết cận tích phân.; Thể tích có đơn vị khối (đvtt), diện tích có đơn vị vuông (đvdt).

Bài 2:

Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ , trục $Ox$ và $x = 0$ , $x = 2$ .
Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.

Bài 3:

Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân (Diện tích dùng $|f(x)|$ ; thể tích tròn xoay dùng $\pi f^2(x)$ — đừng nhầm hai công thức.; Luôn tìm giao điểm trước khi viết cận tích phân.; Thể tích có đơn vị khối (đvtt), diện tích có đơn vị vuông (đvdt).).
Lời giải mẫu/Nhận xét: Giải. Trên $[0; 2]$ , $x^2 \ge 0$ nên $S = \int_0^2 x^2,dx = \frac{8}{3}$ .

Bài 4:

90^\circ

Bài 5:

\dfrac{7}{3}

. Vì

\int_1^2 x^2,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^2 = \dfrac{8}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}

Bài 6:

e

. Vì

\left[x^2 + e^x\right]_0^1 = (1 + e) - (0 + 1) = e