Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1. Kiến thức trọng tâm

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập $D$. Số $M$ được gọi là giá trị lớn nhất của $f$ trên $D$ nếu $f(x) \le M$ với mọi $x \in D$ và tồn tại $x_0 \in D$ sao cho $f(x_0) = M$. Tương tự, số $m$ là giá trị nhỏ nhất nếu $f(x) \ge m$ với mọi $x \in D$ và tồn tại $x_1 \in D$ sao cho $f(x_1) = m$. Kí hiệu: $\max_D f = M$, $\min_D f = m$.

Với hàm số liên tục trên đoạn $[a; b]$, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất luôn tồn tại. Cách tìm: tính $f'(x)$, giải $f'(x) = 0$ trên $(a; b)$ để được các điểm tới hạn $x_1, x_2, \dots$; tính các giá trị $f(a), f(b), f(x_1), f(x_2), \dots$; số lớn nhất trong đó là giá trị lớn nhất, số nhỏ nhất là giá trị nhỏ nhất.

Trên khoảng hoặc nửa khoảng, ta lập bảng biến thiên rồi dựa vào giới hạn ở hai đầu để kết luận. Có những hàm số không đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên tập đang xét, chẳng hạn $y = \frac{1}{x}$ trên $(0; +\infty)$.

2. Ví dụ minh họa

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $f(x) = x^3 - 3x + 1$ trên đoạn $[-2; 2]$. Ta có $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$, nên $f'(x) = 0 \iff x = -1$ hoặc $x = 1$ (cả hai đều thuộc $[-2; 2]$).

Tính: $f(-2) = -1$, $f(-1) = 3$, $f(1) = -1$, $f(2) = 3$. Vậy $\max_{[-2; 2]} f = 3$ đạt tại $x = -1$ và $x = 2$; $\min_{[-2; 2]} f = -1$ đạt tại $x = -2$ và $x = 1$. Lưu ý hàm số có hai điểm đạt cực đại, cực tiểu nhưng trên đoạn, giá trị lớn nhất có thể đạt tại đầu mút.

3. Ghi nhớ

• Trên đoạn $[a; b]$: so sánh $f$ tại hai đầu mút và các điểm tới hạn.
• Trên khoảng: dùng bảng biến thiên và giới hạn hai đầu.
• Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là khái niệm toàn cục trên tập đang xét.
• Đừng nhầm giá trị cực trị với giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.