Bài tập cuối chương 2

1. Kiến thức trọng tâm

Chương 2 ôn tập vectơ trong không gian và hệ trục tọa độ $Oxyz$. Nội dung cốt lõi gồm: khái niệm vectơ, vectơ bằng nhau, tổng và hiệu của hai vectơ, tích của một số với một vectơ; các quy tắc cộng vectơ như quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp; tích vô hướng của hai vectơ trong không gian; hệ trục tọa độ $Oxyz$, tọa độ của điểm và vectơ; biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ; tích vô hướng qua tọa độ; công thức tính độ dài vectơ, khoảng cách giữa hai điểm, góc giữa hai vectơ.

Điểm mấu chốt là vận dụng tọa độ để chuyển các bài toán hình học không gian thành bài toán đại số. Khi biết tọa độ các điểm, ta dễ dàng tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh ba điểm thẳng hàng, bốn điểm đồng phẳng, hoặc tính góc giữa hai đường thẳng.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ. Trong không gian $Oxyz$, cho $A(1; 2; 0)$ và $B(3; 0; 4)$. Tính độ dài đoạn thẳng $AB$.

Lời giải. Ta có $\overrightarrow{AB} = (3 - 1; 0 - 2; 4 - 0) = (2; -2; 4)$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}$: $$AB = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}.$$

3. Ghi nhớ

• Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$ bằng tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu.
• Độ dài vectơ $\vec{a} = (x; y; z)$ là $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
• Hai vectơ vuông góc khi tích vô hướng của chúng bằng 0.