Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

1. Kiến thức trọng tâm

Đường thẳng $x = a$ được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu ít nhất một trong bốn giới hạn một phía sau đây bằng $+\infty$ hoặc $-\infty$: $\lim_{x \to a^+} f(x)$, $\lim_{x \to a^-} f(x)$. Thông thường, $a$ là điểm mà hàm số không xác định hoặc mẫu số bằng $0$.

Đường thẳng $y = b$ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị nếu $\lim_{x \to +\infty} f(x) = b$ hoặc $\lim_{x \to -\infty} f(x) = b$. Với hàm phân thức $\frac{P(x)}{Q(x)}$, nếu bậc của $P$ nhỏ hơn bậc của $Q$ thì tiệm cận ngang là $y = 0$; nếu bậc bằng nhau thì tiệm cận ngang là $y = \frac{\text{hệ số cao nhất của } P}{\text{hệ số cao nhất của } Q}$.

Đường thẳng $y = ax + b$ ($a \ne 0$) được gọi là tiệm cận xiên nếu $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$. Với hàm phân thức mà bậc tử hơn bậc mẫu đúng một đơn vị, ta tìm tiệm cận xiên bằng phép chia đa thức: phần thương là $ax + b$.

2. Ví dụ minh họa

Xét hàm số $y = \frac{2x + 1}{x - 1}$, xác định với $x \ne 1$. Ta có $\lim_{x \to 1^+} y = +\infty$ và $\lim_{x \to 1^-} y = -\infty$ nên đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng. Mặt khác, $\lim_{x \to \pm\infty} y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = 2$, nên đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang.

Xét hàm số $y = \frac{x^2 + 1}{x}$. Chia đa thức: $y = x + \frac{1}{x}$. Vì $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0$ nên đường thẳng $y = x$ là tiệm cận xiên của đồ thị.

3. Ghi nhớ

• Tiệm cận đứng: tìm $x$ làm mẫu bằng $0$ (hoặc điểm gián đoạn), xét giới hạn một phía.
• Tiệm cận ngang: tính giới hạn khi $x \to \pm\infty$.
• Tiệm cận xiên: dùng phép chia đa thức khi bậc tử hơn bậc mẫu một đơn vị.
• Đồ thị không cắt tiệm cận đứng nhưng có thể cắt tiệm cận ngang, tiệm cận xiên.