Bài tập cuối chương 1

1. Kiến thức trọng tâm

Chương 1 ôn tập toàn bộ ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Nội dung cốt lõi gồm: xét tính đơn điệu của hàm số qua dấu của đạo hàm; tìm điểm cực trị bằng bảng biến thiên; xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn hoặc trên một khoảng; nhận biết các đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên của đồ thị; khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm đa thức bậc ba, hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất; vận dụng đạo hàm để giải một số bài toán thực tiễn như tối ưu chi phí, diện tích, thể tích.

Điểm mấu chốt là nắm vững quy trình khảo sát: tìm tập xác định, tính đạo hàm, lập bảng biến thiên, xác định cực trị, tiệm cận, giao điểm với các trục tọa độ, rồi vẽ đồ thị. Khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn $[a; b]$, cần tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại hai đầu mút rồi so sánh.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ. Xét hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$.

Lời giải. Ta có $y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$. Đạo hàm bằng 0 khi $x = 0$ hoặc $x = 2$. Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$, nghịch biến trên $(0; 2)$. Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ với $y = 2$ và đạt cực tiểu tại $x = 2$ với $y = -2$. Trên đoạn $[0; 3]$, hàm số có giá trị lớn nhất bằng $2$ tại $x = 0$ và giá trị nhỏ nhất bằng $-2$ tại $x = 2$.

3. Ghi nhớ

• Hàm số đồng biến khi y' > 0, nghịch biến khi y' < 0 trên từng khoảng.
• Cực trị được xác định qua bảng biến thiên, không nhầm lẫn với giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
• Luôn kiểm tra tập xác định trước khi xét tiệm cận và vẽ đồ thị.