Bài tập — Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

Câu 1. Nội dung nào sau đây phản ánh đúng kiến thức cần ghi nhớ trong bài Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số? A. Tiệm cận đứng: tìm $x$ làm mẫu bằng $0$ (hoặc điểm gián đoạn), xét giới hạn một phía. B. Bỏ qua các khái niệm cơ bản và chỉ học thuộc lòng kết quả cuối cùng mà không cần hiểu bản chất. C. Chỉ áp dụng kiến thức trong một trường hợp duy nhất, không cần kiểm tra điều kiện hay đơn vị. D. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác.

Câu 2. Khi học và vận dụng bài Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số, khẳng định nào dưới đây là chính xác? A. Không cần đọc kĩ đề bài hay phân tích dữ kiện trước khi thực hiện các bước giải. B. Tiệm cận ngang: tính giới hạn khi $x \to \pm\infty$ . C. Mọi khái niệm trong bài đều có thể thay thế tùy ý cho nhau mà không làm thay đổi kết quả. D. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại.

Câu 3. Theo phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số, phát biểu nào sau đây là đúng? A. Kết luận ngay kết quả khi chưa đối chiếu với quy tắc hoặc định nghĩa trong bài học. B. Thay đổi toàn bộ quy tắc trọng tâm của bài học theo cảm tính cá nhân. C. Đường thẳng $x = a$ được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu ít nhất một trong bốn giới hạn một phía sau đây bằng $+\infty$ hoặc $-\infty$ : $\lim_{x \to a^+} f(x)$ , $\lim_{x \to a^-} f(x)$ . D. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học.

Câu 4. Để nắm vững và vận dụng tốt bài Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số, học sinh cần lưu ý điều nào sau đây? A. Không cần ghi nhớ các lưu ý trọng tâm vì chúng không ảnh hưởng đến việc làm bài tập. B. Áp dụng ngược lại hoàn toàn so với quy tắc và hướng dẫn trong phần kiến thức trọng tâm. C. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục. D. Đường thẳng $y = b$ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị nếu $\lim_{x \to +\infty} f(x) = b$ hoặc $\lim_{x \to -\infty} f(x) = b$ .

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Bài 1 (Cơ bản — Hệ thống hóa kiến thức trọng tâm). Dựa vào phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số, em hãy trình bày các khái niệm, quy tắc hoặc nội dung cốt lõi của tiết học và nêu ý nghĩa của chúng.

Bài 2 (Thực hành — Phân tích & Giải mẫu theo ví dụ tiết học). Đọc kĩ tình huống/ví dụ trọng tâm của tiết học dưới đây, sau đó tự trình bày lại các bước thực hiện và nêu nhận xét rút ra:

Xét hàm số $y = \frac{2x + 1}{x - 1}$ , xác định với $x \ne 1$ . Ta có $\lim_{x \to 1^+} y = +\infty$ và $\lim_{x \to 1^-} y = -\infty$ nên đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng. Mặt khác, $\lim_{x \to \pm\infty} y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = 2$ , nên đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang.

Bài 3 (Vận dụng — Áp dụng quy tắc ghi nhớ vào bài tập). Vận dụng các điểm ghi nhớ trọng tâm của bài Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số để giải thích hoặc thực hiện yêu cầu thực hành mở rộng sau:

Xét hàm số $y = \frac{x^2 + 1}{x}$ . Chia đa thức: $y = x + \frac{1}{x}$ . Vì $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0$ nên đường thẳng $y = x$ là tiệm cận xiên của đồ thị.

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^3 - 3x + 1$ trên đoạn $[-2; 0]$ .

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$ .

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Cho hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 1$ . Tính $y'(1)$ .

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-A, 2-B, 3-C, 4-D.
Giải thích chi tiết:
- Câu 1 (A): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Tiệm cận đứng: tìm $x$ làm mẫu bằng $0$ (hoặc điểm gián đoạn), xét giới hạn một phía."
- Câu 2 (B): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Tiệm cận ngang: tính giới hạn khi $x \to \pm\infty$ ."
- Câu 3 (C): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Đường thẳng $x = a$ được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu ít nhất một trong bốn giới hạn một phía sau đây bằng $+\infty$ hoặc $-\infty$ : $\lim_{x \to a^+} f(x)$ , $\lim_{x \to a^-} f(x)$ ."
- Câu 4 (D): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Đường thẳng $y = b$ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị nếu $\lim_{x \to +\infty} f(x) = b$ hoặc $\lim_{x \to -\infty} f(x) = b$ ."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:
- Nội dung cốt lõi cần trình bày: Đường thẳng $x = a$ được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu ít nhất một trong bốn giới hạn một phía sau đây bằng $+\infty$ hoặc $-\infty$ : $\lim_{x \to a^+} f(x)$ , $\lim_{x \to a^-} f(x)$ . Thông thường, $a$ là điểm mà hàm số không xác định hoặc mẫu số bằng $0$ .
- Tổng kết ghi nhớ: Tiệm cận đứng: tìm $x$ làm mẫu bằng $0$ (hoặc điểm gián đoạn), xét giới hạn một phía.; Tiệm cận ngang: tính giới hạn khi $x \to \pm\infty$ .; Tiệm cận xiên: dùng phép chia đa thức khi bậc tử hơn bậc mẫu một đơn vị.
Bài 2:
- Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Xét hàm số $y = \frac{2x + 1}{x - 1}$ , xác định với $x \ne 1$ . Ta có $\lim_{x \to 1^+} y = +\infty$ và $\lim_{x \to 1^-} y = -\infty$ nên đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng. Mặt khác, $\lim_{x \to \pm\infty} y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = 2$ , nên đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang.
- Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.
Bài 3:
- Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số (Tiệm cận đứng: tìm $x$ làm mẫu bằng $0$ (hoặc điểm gián đoạn), xét giới hạn một phía.; Tiệm cận ngang: tính giới hạn khi $x \to \pm\infty$ .; Tiệm cận xiên: dùng phép chia đa thức khi bậc tử hơn bậc mẫu một đơn vị.).
- Lời giải mẫu/Nhận xét: Xét hàm số $y = \frac{x^2 + 1}{x}$ . Chia đa thức: $y = x + \frac{1}{x}$ . Vì $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0$ nên đường thẳng $y = x$ là tiệm cận xiên của đồ thị.
Bài 4: GTLN $= 3$ ; GTNN $= -1$ .
Bài 5: Tiệm cận đứng $x = 3$ ; tiệm cận ngang $y = 2$ .
Bài 6: $y'(1) = -3$ .

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

Câu 1. Nội dung nào sau đây phản ánh đúng kiến thức cần ghi nhớ trong bài Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số? A. Tiệm cận đứng: tìm

x

làm mẫu bằng

0

(hoặc điểm gián đoạn), xét giới hạn một phía. B. Bỏ qua các khái niệm cơ bản và chỉ học thuộc lòng kết quả cuối cùng mà không cần hiểu bản chất. C. Chỉ áp dụng kiến thức trong một trường hợp duy nhất, không cần kiểm tra điều kiện hay đơn vị. D. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác.

x \to \pm\infty

. C. Mọi khái niệm trong bài đều có thể thay thế tùy ý cho nhau mà không làm thay đổi kết quả. D. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại.

x = a

được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

y = f(x)

nếu ít nhất một trong bốn giới hạn một phía sau đây bằng

+\infty

hoặc

-\infty

\lim_{x \to a^+} f(x)

\lim_{x \to a^-} f(x)

. D. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học.

y = b

được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị nếu

\lim_{x \to +\infty} f(x) = b

hoặc

\lim_{x \to -\infty} f(x) = b

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Xét hàm số $y = \frac{2x + 1}{x - 1}$ , xác định với $x \ne 1$ . Ta có $\lim_{x \to 1^+} y = +\infty$ và $\lim_{x \to 1^-} y = -\infty$ nên đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng. Mặt khác, $\lim_{x \to \pm\infty} y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = 2$ , nên đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang.

Xét hàm số $y = \frac{x^2 + 1}{x}$ . Chia đa thức: $y = x + \frac{1}{x}$ . Vì $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0$ nên đường thẳng $y = x$ là tiệm cận xiên của đồ thị.

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = x^3 - 3x + 1

trên đoạn

[-2; 0]

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = \dfrac{2x + 1}{x - 3}

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Cho hàm số

y = x^3 - 3x^2 + 1

. Tính

y'(1)

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-A, 2-B, 3-C, 4-D.

Giải thích chi tiết:

Câu 1 (A): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Tiệm cận đứng: tìm $x$ làm mẫu bằng $0$ (hoặc điểm gián đoạn), xét giới hạn một phía."
Câu 2 (B): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Tiệm cận ngang: tính giới hạn khi $x \to \pm\infty$ ."
Câu 3 (C): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Đường thẳng $x = a$ được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu ít nhất một trong bốn giới hạn một phía sau đây bằng $+\infty$ hoặc $-\infty$ : $\lim_{x \to a^+} f(x)$ , $\lim_{x \to a^-} f(x)$ ."
Câu 4 (D): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Đường thẳng $y = b$ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị nếu $\lim_{x \to +\infty} f(x) = b$ hoặc $\lim_{x \to -\infty} f(x) = b$ ."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:

Nội dung cốt lõi cần trình bày: Đường thẳng $x = a$ được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu ít nhất một trong bốn giới hạn một phía sau đây bằng $+\infty$ hoặc $-\infty$ : $\lim_{x \to a^+} f(x)$ , $\lim_{x \to a^-} f(x)$ . Thông thường, $a$ là điểm mà hàm số không xác định hoặc mẫu số bằng $0$ .
Tổng kết ghi nhớ: Tiệm cận đứng: tìm $x$ làm mẫu bằng $0$ (hoặc điểm gián đoạn), xét giới hạn một phía.; Tiệm cận ngang: tính giới hạn khi $x \to \pm\infty$ .; Tiệm cận xiên: dùng phép chia đa thức khi bậc tử hơn bậc mẫu một đơn vị.

Bài 2:

Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Xét hàm số $y = \frac{2x + 1}{x - 1}$ , xác định với $x \ne 1$ . Ta có $\lim_{x \to 1^+} y = +\infty$ và $\lim_{x \to 1^-} y = -\infty$ nên đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng. Mặt khác, $\lim_{x \to \pm\infty} y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = 2$ , nên đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang.
Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.

Bài 3:

Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số (Tiệm cận đứng: tìm $x$ làm mẫu bằng $0$ (hoặc điểm gián đoạn), xét giới hạn một phía.; Tiệm cận ngang: tính giới hạn khi $x \to \pm\infty$ .; Tiệm cận xiên: dùng phép chia đa thức khi bậc tử hơn bậc mẫu một đơn vị.).
Lời giải mẫu/Nhận xét: Xét hàm số $y = \frac{x^2 + 1}{x}$ . Chia đa thức: $y = x + \frac{1}{x}$ . Vì $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0$ nên đường thẳng $y = x$ là tiệm cận xiên của đồ thị.

Bài 4: GTLN

= 3

; GTNN

= -1

Bài 5: Tiệm cận đứng

x = 3

; tiệm cận ngang

y = 2

Bài 6:

y'(1) = -3