Bài tập — Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

Câu 1. Nội dung nào sau đây phản ánh đúng kiến thức cần ghi nhớ trong bài Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số? A. Bỏ qua các khái niệm cơ bản và chỉ học thuộc lòng kết quả cuối cùng mà không cần hiểu bản chất. B. Chỉ áp dụng kiến thức trong một trường hợp duy nhất, không cần kiểm tra điều kiện hay đơn vị. C. Đúng thứ tự: tập xác định → biến thiên → tiệm cận → đồ thị. D. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác.

Câu 2. Khi học và vận dụng bài Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, khẳng định nào dưới đây là chính xác? A. Không cần đọc kĩ đề bài hay phân tích dữ kiện trước khi thực hiện các bước giải. B. Mọi khái niệm trong bài đều có thể thay thế tùy ý cho nhau mà không làm thay đổi kết quả. C. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại. D. Bảng biến thiên phải ghi rõ dấu đạo hàm, chiều mũi tên và các giá trị cực trị.

Câu 3. Theo phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, phát biểu nào sau đây là đúng? A. Khảo sát hàm số gồm các bước: tìm tập xác định; xét sự biến thiên (tính đạo hàm, tìm điểm tới hạn, lập bảng biến thiên, kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị); tìm các đường tiệm cận (nếu có); vẽ đồ thị (tìm giao điểm với các trục tọa độ, thêm một số điểm đặc biệt, vẽ đường cong trơn). B. Kết luận ngay kết quả khi chưa đối chiếu với quy tắc hoặc định nghĩa trong bài học. C. Thay đổi toàn bộ quy tắc trọng tâm của bài học theo cảm tính cá nhân. D. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học.

Câu 4. Để nắm vững và vận dụng tốt bài Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, học sinh cần lưu ý điều nào sau đây? A. Không cần ghi nhớ các lưu ý trọng tâm vì chúng không ảnh hưởng đến việc làm bài tập. B. Tâm đối xứng của đồ thị là điểm uốn, có hoành độ $x_0 = -\frac{b}{3a}$ . C. Áp dụng ngược lại hoàn toàn so với quy tắc và hướng dẫn trong phần kiến thức trọng tâm. D. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Bài 1 (Cơ bản — Hệ thống hóa kiến thức trọng tâm). Dựa vào phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, em hãy trình bày các khái niệm, quy tắc hoặc nội dung cốt lõi của tiết học và nêu ý nghĩa của chúng.

Bài 2 (Thực hành — Phân tích & Giải mẫu theo ví dụ tiết học). Đọc kĩ tình huống/ví dụ trọng tâm của tiết học dưới đây, sau đó tự trình bày lại các bước thực hiện và nêu nhận xét rút ra:

Khảo sát $y = x^3 - 3x$ . Tập xác định $D = \mathbb{R}$ . Đạo hàm $y' = 3x^2 - 3$ , $y' = 0 \iff x = \pm 1$ . Bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$ , nghịch biến trên $(-1; 1)$ ; cực đại tại $(-1; 2)$ , cực tiểu tại $(1; -2)$ .

Bài 3 (Vận dụng — Áp dụng quy tắc ghi nhớ vào bài tập). Vận dụng các điểm ghi nhớ trọng tâm của bài Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số để giải thích hoặc thực hiện yêu cầu thực hành mở rộng sau:

Đồ thị cắt trục $Oy$ tại $(0; 0)$ và cắt trục $Ox$ tại $x = 0, x = \pm\sqrt{3}$ . Điểm uốn có hoành độ $x = 0$ . Vẽ đường cong đi qua các điểm trên, đi lên ở hai đầu theo chiều biến thiên đã tìm được, ta được đồ thị hoàn chỉnh.

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Tìm $m$ để hàm số $y = x^3 - 3x + m$ có giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[0; 2]$ bằng $1$ .

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Chứng minh đồ thị hàm số $y = \dfrac{x + m}{x - 1}$ luôn có tiệm cận ngang $y = 1$ với mọi $m \ne -1$ .

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Tìm $m$ để hàm số $y = x^4 - 2mx^2 + 1$ có ba điểm cực trị.

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-C, 2-D, 3-A, 4-B.
Giải thích chi tiết:
- Câu 1 (C): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Đúng thứ tự: tập xác định → biến thiên → tiệm cận → đồ thị."
- Câu 2 (D): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Bảng biến thiên phải ghi rõ dấu đạo hàm, chiều mũi tên và các giá trị cực trị."
- Câu 3 (A): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Khảo sát hàm số gồm các bước: tìm tập xác định; xét sự biến thiên (tính đạo hàm, tìm điểm tới hạn, lập bảng biến thiên, kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị); tìm các đường tiệm cận (nếu có); vẽ đồ thị (tìm giao điểm với các trục tọa độ, thêm một số điểm đặc biệt, vẽ đường cong trơn)."
- Câu 4 (B): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Tâm đối xứng của đồ thị là điểm uốn, có hoành độ $x_0 = -\frac{b}{3a}$ ."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:
- Nội dung cốt lõi cần trình bày: Khảo sát hàm số gồm các bước: tìm tập xác định; xét sự biến thiên (tính đạo hàm, tìm điểm tới hạn, lập bảng biến thiên, kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị); tìm các đường tiệm cận (nếu có); vẽ đồ thị (tìm giao điểm với các trục tọa độ, thêm một số điểm đặc biệt, vẽ đường cong trơn). Với hàm đa thức bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ( $a \ne 0$ ), đồ thị không có tiệm cận, có dạng cong với tối đa hai điểm cực trị.
- Tổng kết ghi nhớ: Đúng thứ tự: tập xác định → biến thiên → tiệm cận → đồ thị.; Bảng biến thiên phải ghi rõ dấu đạo hàm, chiều mũi tên và các giá trị cực trị.; Đồ thị hàm bậc ba có tâm đối xứng là điểm uốn.
Bài 2:
- Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Khảo sát $y = x^3 - 3x$ . Tập xác định $D = \mathbb{R}$ . Đạo hàm $y' = 3x^2 - 3$ , $y' = 0 \iff x = \pm 1$ . Bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$ , nghịch biến trên $(-1; 1)$ ; cực đại tại $(-1; 2)$ , cực tiểu tại $(1; -2)$ .
- Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.
Bài 3:
- Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (Đúng thứ tự: tập xác định → biến thiên → tiệm cận → đồ thị.; Bảng biến thiên phải ghi rõ dấu đạo hàm, chiều mũi tên và các giá trị cực trị.; Đồ thị hàm bậc ba có tâm đối xứng là điểm uốn.).
- Lời giải mẫu/Nhận xét: Đồ thị cắt trục $Oy$ tại $(0; 0)$ và cắt trục $Ox$ tại $x = 0, x = \pm\sqrt{3}$ . Điểm uốn có hoành độ $x = 0$ . Vẽ đường cong đi qua các điểm trên, đi lên ở hai đầu theo chiều biến thiên đã tìm được, ta được đồ thị hoàn chỉnh.
Bài 4: GTNN trên $[0; 2]$ là $y(1) = m - 2 = 1 \Leftrightarrow m = 3$ .
Bài 5: $\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{x + m}{x - 1} = 1$ nên tiệm cận ngang là $y = 1$ .
Bài 6: $y' = 4x^3 - 4mx = 4x(x^2 - m)$ có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m > 0$ .

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

x_0 = -\frac{b}{3a}

. C. Áp dụng ngược lại hoàn toàn so với quy tắc và hướng dẫn trong phần kiến thức trọng tâm. D. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Khảo sát $y = x^3 - 3x$ . Tập xác định $D = \mathbb{R}$ . Đạo hàm $y' = 3x^2 - 3$ , $y' = 0 \iff x = \pm 1$ . Bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$ , nghịch biến trên $(-1; 1)$ ; cực đại tại $(-1; 2)$ , cực tiểu tại $(1; -2)$ .

Đồ thị cắt trục $Oy$ tại $(0; 0)$ và cắt trục $Ox$ tại $x = 0, x = \pm\sqrt{3}$ . Điểm uốn có hoành độ $x = 0$ . Vẽ đường cong đi qua các điểm trên, đi lên ở hai đầu theo chiều biến thiên đã tìm được, ta được đồ thị hoàn chỉnh.

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Tìm

m

để hàm số

y = x^3 - 3x + m

có giá trị nhỏ nhất trên đoạn

[0; 2]

bằng

1

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Chứng minh đồ thị hàm số

y = \dfrac{x + m}{x - 1}

luôn có tiệm cận ngang

y = 1

với mọi

m \ne -1

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Tìm

m

để hàm số

y = x^4 - 2mx^2 + 1

có ba điểm cực trị.

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-C, 2-D, 3-A, 4-B.

Giải thích chi tiết:

Câu 1 (C): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Đúng thứ tự: tập xác định → biến thiên → tiệm cận → đồ thị."
Câu 2 (D): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Bảng biến thiên phải ghi rõ dấu đạo hàm, chiều mũi tên và các giá trị cực trị."
Câu 3 (A): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Khảo sát hàm số gồm các bước: tìm tập xác định; xét sự biến thiên (tính đạo hàm, tìm điểm tới hạn, lập bảng biến thiên, kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị); tìm các đường tiệm cận (nếu có); vẽ đồ thị (tìm giao điểm với các trục tọa độ, thêm một số điểm đặc biệt, vẽ đường cong trơn)."
Câu 4 (B): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Tâm đối xứng của đồ thị là điểm uốn, có hoành độ $x_0 = -\frac{b}{3a}$ ."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:

Nội dung cốt lõi cần trình bày: Khảo sát hàm số gồm các bước: tìm tập xác định; xét sự biến thiên (tính đạo hàm, tìm điểm tới hạn, lập bảng biến thiên, kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị); tìm các đường tiệm cận (nếu có); vẽ đồ thị (tìm giao điểm với các trục tọa độ, thêm một số điểm đặc biệt, vẽ đường cong trơn). Với hàm đa thức bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ( $a \ne 0$ ), đồ thị không có tiệm cận, có dạng cong với tối đa hai điểm cực trị.
Tổng kết ghi nhớ: Đúng thứ tự: tập xác định → biến thiên → tiệm cận → đồ thị.; Bảng biến thiên phải ghi rõ dấu đạo hàm, chiều mũi tên và các giá trị cực trị.; Đồ thị hàm bậc ba có tâm đối xứng là điểm uốn.

Bài 2:

Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Khảo sát $y = x^3 - 3x$ . Tập xác định $D = \mathbb{R}$ . Đạo hàm $y' = 3x^2 - 3$ , $y' = 0 \iff x = \pm 1$ . Bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$ , nghịch biến trên $(-1; 1)$ ; cực đại tại $(-1; 2)$ , cực tiểu tại $(1; -2)$ .
Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.

Bài 3:

Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (Đúng thứ tự: tập xác định → biến thiên → tiệm cận → đồ thị.; Bảng biến thiên phải ghi rõ dấu đạo hàm, chiều mũi tên và các giá trị cực trị.; Đồ thị hàm bậc ba có tâm đối xứng là điểm uốn.).
Lời giải mẫu/Nhận xét: Đồ thị cắt trục $Oy$ tại $(0; 0)$ và cắt trục $Ox$ tại $x = 0, x = \pm\sqrt{3}$ . Điểm uốn có hoành độ $x = 0$ . Vẽ đường cong đi qua các điểm trên, đi lên ở hai đầu theo chiều biến thiên đã tìm được, ta được đồ thị hoàn chỉnh.

Bài 4: GTNN trên

[0; 2]

là

y(1) = m - 2 = 1 \Leftrightarrow m = 3

Bài 5:

\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{x + m}{x - 1} = 1

nên tiệm cận ngang là

y = 1

Bài 6:

y' = 4x^3 - 4mx = 4x(x^2 - m)

có ba nghiệm phân biệt

\Leftrightarrow m &gt; 0