Bài tập — Bài 7: Hệ trục toạ độ trong không gian

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

Câu 1. Nội dung nào sau đây phản ánh đúng kiến thức cần ghi nhớ trong bài Bài 7: Hệ trục toạ độ trong không gian? A. $\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ với $M(x; y; z)$. B. Bỏ qua các khái niệm cơ bản và chỉ học thuộc lòng kết quả cuối cùng mà không cần hiểu bản chất. C. Chỉ áp dụng kiến thức trong một trường hợp duy nhất, không cần kiểm tra điều kiện hay đơn vị. D. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác.

Câu 2. Khi học và vận dụng bài Bài 7: Hệ trục toạ độ trong không gian, khẳng định nào dưới đây là chính xác? A. Không cần đọc kĩ đề bài hay phân tích dữ kiện trước khi thực hiện các bước giải. B. Khoảng cách: căn bậc hai của tổng bình phương các hiệu tọa độ. C. Mọi khái niệm trong bài đều có thể thay thế tùy ý cho nhau mà không làm thay đổi kết quả. D. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại.

Câu 3. Theo phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 7: Hệ trục toạ độ trong không gian, phát biểu nào sau đây là đúng? A. Kết luận ngay kết quả khi chưa đối chiếu với quy tắc hoặc định nghĩa trong bài học. B. Thay đổi toàn bộ quy tắc trọng tâm của bài học theo cảm tính cá nhân. C. Hệ trục tọa độ $Oxyz$ gồm ba trục $Ox, Oy, Oz$ đôi một vuông góc tại gốc $O$, cùng với ba vectơ đơn vị $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ tương ứng. D. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học.

Câu 4. Để nắm vững và vận dụng tốt bài Bài 7: Hệ trục toạ độ trong không gian, học sinh cần lưu ý điều nào sau đây? A. Không cần ghi nhớ các lưu ý trọng tâm vì chúng không ảnh hưởng đến việc làm bài tập. B. Áp dụng ngược lại hoàn toàn so với quy tắc và hướng dẫn trong phần kiến thức trọng tâm. C. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục. D. Với hai điểm $A(x_A; y_A; z_A)$ và $B(x_B; y_B; z_B)$, vectơ $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$ và độ dài đoạn thẳng $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Bài 1 (Cơ bản — Hệ thống hóa kiến thức trọng tâm). Dựa vào phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 7: Hệ trục toạ độ trong không gian, em hãy trình bày các khái niệm, quy tắc hoặc nội dung cốt lõi của tiết học và nêu ý nghĩa của chúng.

Bài 2 (Thực hành — Phân tích & Giải mẫu theo ví dụ tiết học). Đọc kĩ tình huống/ví dụ trọng tâm của tiết học dưới đây, sau đó tự trình bày lại các bước thực hiện và nêu nhận xét rút ra:

Cho $A(1; 2; 3)$ và $B(4; 6; 3)$. Ta có $\overrightarrow{AB} = (3; 4; 0)$ và $AB = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5$. Trung điểm của $AB$ là $I\left(\frac{5}{2}; 4; 3\right)$.

Bài 3 (Vận dụng — Áp dụng quy tắc ghi nhớ vào bài tập). Vận dụng các điểm ghi nhớ trọng tâm của bài Bài 7: Hệ trục toạ độ trong không gian để giải thích hoặc thực hiện yêu cầu thực hành mở rộng sau:

Cho tam giác $ABC$ với $C(2; 0; 6)$. Trọng tâm $G$ có tọa độ $G\left(\frac{1 + 4 + 2}{3}; \frac{2 + 6 + 0}{3}; \frac{3 + 3 + 6}{3}\right) = \left(\frac{7}{3}; \frac{8}{3}; 4\right)$. Hình chiếu của $A$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ là điểm $(1; 2; 0)$, lên trục $Oz$ là điểm $(0; 0; 3)$.

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Tính $\int_0^2 (x - 1),dx$.

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Tính $\int_0^{\pi/2} (\sin x + \cos x),dx$.

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = x$.

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

• Bảng đáp án: 1-A, 2-B, 3-C, 4-D.
• Giải thích chi tiết:
  • Câu 1 (A): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "$\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ với $M(x; y; z)$."
  • Câu 2 (B): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Khoảng cách: căn bậc hai của tổng bình phương các hiệu tọa độ."
  • Câu 3 (C): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Hệ trục tọa độ $Oxyz$ gồm ba trục $Ox, Oy, Oz$ đôi một vuông góc tại gốc $O$, cùng với ba vectơ đơn vị $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ tương ứng."
  • Câu 4 (D): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Với hai điểm $A(x_A; y_A; z_A)$ và $B(x_B; y_B; z_B)$, vectơ $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$ và độ dài đoạn thẳng $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

• Bài 1:
  • Nội dung cốt lõi cần trình bày: Hệ trục tọa độ $Oxyz$ gồm ba trục $Ox, Oy, Oz$ đôi một vuông góc tại gốc $O$, cùng với ba vectơ đơn vị $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ tương ứng. Mỗi điểm $M$ trong không gian được xác định duy nhất bởi bộ ba số $(x; y; z)$ sao cho $\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$.
  • Tổng kết ghi nhớ: $\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ với $M(x; y; z)$.; Khoảng cách: căn bậc hai của tổng bình phương các hiệu tọa độ.; Trung điểm: trung bình cộng từng tọa độ.
• Bài 2:
  • Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Cho $A(1; 2; 3)$ và $B(4; 6; 3)$. Ta có $\overrightarrow{AB} = (3; 4; 0)$ và $AB = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5$. Trung điểm của $AB$ là $I\left(\frac{5}{2}; 4; 3\right)$.
  • Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.
• Bài 3:
  • Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 7: Hệ trục toạ độ trong không gian ($\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ với $M(x; y; z)$.; Khoảng cách: căn bậc hai của tổng bình phương các hiệu tọa độ.; Trung điểm: trung bình cộng từng tọa độ.).
  • Lời giải mẫu/Nhận xét: Cho tam giác $ABC$ với $C(2; 0; 6)$. Trọng tâm $G$ có tọa độ $G\left(\frac{1 + 4 + 2}{3}; \frac{2 + 6 + 0}{3}; \frac{3 + 3 + 6}{3}\right) = \left(\frac{7}{3}; \frac{8}{3}; 4\right)$. Hình chiếu của $A$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ là điểm $(1; 2; 0)$, lên trục $Oz$ là điểm $(0; 0; 3)$.
• Bài 4: $0$. Vì $\left[\dfrac{x^2}{2} - x\right]_0^2 = (2 - 2) - 0 = 0$.
• Bài 5: $2$. Vì $\int_0^{\pi/2} \sin x,dx + \int_0^{\pi/2} \cos x,dx = 1 + 1 = 2$.
• Bài 6: $\dfrac{1}{6}$. Vì $S = \int_0^1 (x - x^2),dx = \left[\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$.