Bài tập — Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

Câu 1. Nội dung nào sau đây phản ánh đúng kiến thức cần ghi nhớ trong bài Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ? A. Bỏ qua các khái niệm cơ bản và chỉ học thuộc lòng kết quả cuối cùng mà không cần hiểu bản chất. B. Cộng, trừ, nhân với số: thực hiện theo từng tọa độ. C. Chỉ áp dụng kiến thức trong một trường hợp duy nhất, không cần kiểm tra điều kiện hay đơn vị. D. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác.

Câu 2. Khi học và vận dụng bài Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ, khẳng định nào dưới đây là chính xác? A. Không cần đọc kĩ đề bài hay phân tích dữ kiện trước khi thực hiện các bước giải. B. Mọi khái niệm trong bài đều có thể thay thế tùy ý cho nhau mà không làm thay đổi kết quả. C. Tích vô hướng: tổng các tích tọa độ tương ứng. D. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại.

Câu 3. Theo phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ, phát biểu nào sau đây là đúng? A. Kết luận ngay kết quả khi chưa đối chiếu với quy tắc hoặc định nghĩa trong bài học. B. Thay đổi toàn bộ quy tắc trọng tâm của bài học theo cảm tính cá nhân. C. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học. D. Cho hai vectơ $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ và $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$ trong không gian $Oxyz$.

Câu 4. Để nắm vững và vận dụng tốt bài Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ, học sinh cần lưu ý điều nào sau đây? A. Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi các tọa độ tương ứng bằng nhau. B. Không cần ghi nhớ các lưu ý trọng tâm vì chúng không ảnh hưởng đến việc làm bài tập. C. Áp dụng ngược lại hoàn toàn so với quy tắc và hướng dẫn trong phần kiến thức trọng tâm. D. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Bài 1 (Cơ bản — Hệ thống hóa kiến thức trọng tâm). Dựa vào phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ, em hãy trình bày các khái niệm, quy tắc hoặc nội dung cốt lõi của tiết học và nêu ý nghĩa của chúng.

Bài 2 (Thực hành — Phân tích & Giải mẫu theo ví dụ tiết học). Đọc kĩ tình huống/ví dụ trọng tâm của tiết học dưới đây, sau đó tự trình bày lại các bước thực hiện và nêu nhận xét rút ra:

Cho $\vec{a} = (1; 2; 3)$ và $\vec{b} = (2; -1; 0)$. Ta có $\vec{a} + \vec{b} = (3; 1; 3)$, $2\vec{a} = (2; 4; 6)$ và $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 0 = 0$. Vậy $\vec{a}$ vuông góc với $\vec{b}$.

Bài 3 (Vận dụng — Áp dụng quy tắc ghi nhớ vào bài tập). Vận dụng các điểm ghi nhớ trọng tâm của bài Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ để giải thích hoặc thực hiện yêu cầu thực hành mở rộng sau:

Độ dài của $\vec{a}$ là $|\vec{a}| = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$, độ dài của $\vec{b}$ là $|\vec{b}| = \sqrt{4 + 1 + 0} = \sqrt{5}$. Với vectơ $\vec{c} = (2; 4; 6)$ ta thấy $\vec{c} = 2\vec{a}$ nên $\vec{c}$ cùng phương với $\vec{a}$.

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Tính $\int_0^1 (e^x + x),dx$.

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Tính $\int_0^1 x^2 e^x,dx$.

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2 - 2x$ và $y = 0$.

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

• Bảng đáp án: 1-B, 2-C, 3-D, 4-A.
• Giải thích chi tiết:
  • Câu 1 (B): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Cộng, trừ, nhân với số: thực hiện theo từng tọa độ."
  • Câu 2 (C): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Tích vô hướng: tổng các tích tọa độ tương ứng."
  • Câu 3 (D): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Cho hai vectơ $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ và $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$ trong không gian $Oxyz$."
  • Câu 4 (A): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi các tọa độ tương ứng bằng nhau."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

• Bài 1:
  • Nội dung cốt lõi cần trình bày: Cho hai vectơ $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ và $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$ trong không gian $Oxyz$. Khi đó: $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2; y_1 + y_2; z_1 + z_2)$, $\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2; y_1 - y_2; z_1 - z_2)$ và $k\vec{a} = (kx_1; ky_1; kz_1)$ với $k$ là số thực.
  • Tổng kết ghi nhớ: Cộng, trừ, nhân với số: thực hiện theo từng tọa độ.; Tích vô hướng: tổng các tích tọa độ tương ứng.; Vuông góc $\iff$ tích vô hướng bằng $0$.
• Bài 2:
  • Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Cho $\vec{a} = (1; 2; 3)$ và $\vec{b} = (2; -1; 0)$. Ta có $\vec{a} + \vec{b} = (3; 1; 3)$, $2\vec{a} = (2; 4; 6)$ và $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 0 = 0$. Vậy $\vec{a}$ vuông góc với $\vec{b}$.
  • Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.
• Bài 3:
  • Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ (Cộng, trừ, nhân với số: thực hiện theo từng tọa độ.; Tích vô hướng: tổng các tích tọa độ tương ứng.; Vuông góc $\iff$ tích vô hướng bằng $0$.).
  • Lời giải mẫu/Nhận xét: Độ dài của $\vec{a}$ là $|\vec{a}| = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$, độ dài của $\vec{b}$ là $|\vec{b}| = \sqrt{4 + 1 + 0} = \sqrt{5}$. Với vectơ $\vec{c} = (2; 4; 6)$ ta thấy $\vec{c} = 2\vec{a}$ nên $\vec{c}$ cùng phương với $\vec{a}$.
• Bài 4: $e - \dfrac{1}{2}$. Vì $(e - 1) + \dfrac{1}{2} = e - \dfrac{1}{2}$.
• Bài 5: $e - 2$. Dùng từng phần hai lần: $\int x^2 e^x,dx = e^x(x^2 - 2x + 2) + C$. Thay cận $0$ và $1$: $e(1 - 2 + 2) - 2 = e - 2$.
• Bài 6: $\dfrac{4}{3}$. Hoành độ giao điểm $x = 0$ và $x = 2$; trên $[0; 2]$ ta có $2x - x^2 \ge 0$ nên $S = \int_0^2 (2x - x^2),dx = \left[x^2 - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^2 = 4 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{4}{3}$.