Bài 10: Tính chất chia hết của một tổng

1. Kiến thức trọng tâm

Một số tự nhiên $a$ chia hết cho số tự nhiên $b$ ($b \ne 0$) nếu có số tự nhiên $k$ sao cho $a = b \cdot k$. Khi đó ta viết $a \vdots b$. Ví dụ, $12 \vdots 3$ vì $12 = 3 \cdot 4$.

Tính chất chia hết của một tổng: nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng đó chia hết cho số đó. Cụ thể, nếu $a \vdots m$ và $b \vdots m$ thì $(a + b) \vdots m$. Ví dụ, $12 \vdots 3$ và $15 \vdots 3$ nên $(12 + 15) = 27 \vdots 3$. Tính chất này cũng đúng với hiệu: nếu $a \vdots m$ và $b \vdots m$ thì $(a - b) \vdots m$.

Ngược lại, nếu chỉ có một số hạng không chia hết cho $m$ còn các số hạng còn lại đều chia hết cho $m$ thì tổng không chia hết cho $m$. Ví dụ, $12 \vdots 3$ nhưng $10$ không chia hết cho $3$ nên $(12 + 10) = 22$ không chia hết cho $3$. Tính chất này giúp xét tính chia hết mà không cần tính tổng.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Không tính tổng, xét xem $24 + 36$ có chia hết cho $6$ không.

Lời giải: $24 \vdots 6$ và $36 \vdots 6$ nên $(24 + 36) \vdots 6$.

Ví dụ 2. Không tính hiệu, xét xem $45 - 15$ có chia hết cho $5$ không.

Lời giải: $45 \vdots 5$ và $15 \vdots 5$ nên $(45 - 15) \vdots 5$.

Ví dụ 3. Xét xem $20 + 14$ có chia hết cho $4$ không.

Lời giải: $20 \vdots 4$ nhưng $14$ không chia hết cho $4$ nên $(20 + 14)$ không chia hết cho $4$.

3. Ghi nhớ

• $a \vdots b$ nghĩa là $a$ chia hết cho $b$.
• Mọi số hạng đều chia hết cho $m$ thì tổng (hiệu) chia hết cho $m$.
• Chỉ một số hạng không chia hết cho $m$ thì tổng không chia hết cho $m$.
• Có thể xét tính chia hết mà không cần tính tổng.